O distribuție binomială descrie o variabilă X dacă 1) există un număr fix n observații ale variabilei; 2) toate observațiile sunt independente una de cealaltă; 3) probabilitatea de succes p este același pentru fiecare observație; și 4) fiecare observație reprezintă unul dintre exact două rezultate posibile (de aici și cuvântul „binom” - gândiți „binar”). Această ultimă calificare distinge distribuțiile binomiale de distribuțiile Poisson, care variază continuu, mai degrabă decât discret.
O astfel de distribuție poate fi scrisă B(n, p).
Calculul probabilității unei observații date
Spune o valoare k se află undeva de-a lungul graficului distribuției binomiale, care este simetrică în raport cu media np. Pentru a calcula probabilitatea ca o observație să aibă această valoare, această ecuație trebuie rezolvată:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
Unde
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
„!” semnifică o funcție factorială, de exemplu, 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Exemplu
Să spunem că un jucător de baschet face 24 de aruncări libere și are o rată de succes stabilită de 75% (
p = 0.75). Care sunt șansele ca ea să lovească exact 20 din cele 24 de lovituri?Calculează mai întâi (n: k) după cum urmează:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10.626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Prin urmare
P (20) = 10.626 × 0.00317 × 0.00390 = 0.1314
Prin urmare, acest jucător are șanse de 13,1% să facă exact 20 din 24 de aruncări libere, în conformitate cu ceea ce ar putea fi intuiția sugerează despre un jucător care ar atinge de obicei 18 din 24 de aruncări libere (datorită ratei de succes stabilite de 75%).
