Produsul a două cantități scalare este un scalar, iar produsul unui scalar cu un vector este un vector, dar ce zici de produsul a doi vectori? Este un scalar sau un alt vector? Răspunsul este că ar putea fi fie!
Există două moduri de a multiplica vectorii împreună. Una este luând produsul lor dot, care produce un scalar, iar celălalt este luând produsul lor încrucișat, care dă un alt vector. Ce produs să utilizați depinde de scenariul particular și de cantitatea pe care încercați să o găsiți.
produs doteste uneori denumitprodus scalarsauprodus intern. Geometric, vă puteți gândi la produsul punct între doi vectori ca la o modalitate de înmulțire a valorilor vectoriale care contează doar contribuțiile în aceeași direcție.
- Notă: produsele dot pot fi negative sau pozitive, dar semnul respectiv nu indică direcția. Deși într-o singură dimensiune, direcția vectorială este adesea indicată cu semn, cantitățile scalare pot avea, de asemenea, semne asociate cu acestea, care nu sunt indicatori de direcție. Datoria este doar unul dintre multele exemple în acest sens.
Definiția produsului Dot
Produsul punct al vectorilorA = (aX, Ay)șib = (bX, by)într-un sistem de coordonate cartezian standard este definit după cum urmează:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Când luați cu sine produsul punct al unui vector, apare o relație interesantă:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Unde |A| este magnitudinea (lungimea) luiAde teorema lui Pitagora.
O altă formulă de produs dot poate fi derivată folosind legea cosinusului. Acest lucru se face după cum urmează:
Luați în considerare vectori non zeroAșibîmpreună cu vectorul lor de diferențăa - b. Aranjați cei trei vectori pentru a forma un triunghi.
Legea cosinusului din trigonometrie ne spune că:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
Și folosind definiția produsului dot obținem:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Setând ambele expresii egale și apoi simplificând, obținem:
\ cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ implică \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
Această formulare permite ca intuiția noastră geometrică să intre în joc. Cantitatea |A| cos (θ) este magnitudinea proiecției vectoruluiApe vectorb.
Deci, ne putem gândi la produsul punct ca la proiecția unui vector asupra celuilalt și apoi a produsului valorilor lor. Cu alte cuvinte, poate fi văzut ca produsul unui vector cu cantitatea celuilalt vector în aceeași direcție ca el însuși.
Proprietățile produsului Dot
Următoarele sunt câteva proprietăți ale produsului dot pe care le-ați putea găsi utile:
\ # \ text {1. Dacă} \ theta = 0 \ text {, atunci} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Acest lucru se datorează faptului că cos (0) = 1.
\ # \ text {2. Dacă} \ theta = 180 \ text {, atunci} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Acest lucru se datorează faptului că cos (180) = -1.
\ # \ text {3. Dacă} \ theta = 90 \ text {, atunci} \ bold {a \ cdot b} = 0
Acest lucru se datorează faptului că cos (90) = 0.
- Notă: Pentru 0 <
θ
<90, produsul punct va fi pozitiv, iar pentru 90 <
θ
<180, produsul punct va fi negativ.
\ # \ text {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Acest lucru rezultă din aplicarea legii comutative la definiția produsului punct.
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Dovadă:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ text {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Dovadă:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ îndrăzneț {b}
Cum să găsiți produsul Dot
Exemplul 1:În fizică, muncă realizată de o forțăFpe un obiect pe măsură ce suferă deplasared, este definit ca:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Unde θ este unghiul dintre vectorul de forță și vectorul de deplasare.
Cantitatea de muncă efectuată de o forță este o indicație a cât de mult a contribuit această forță la deplasare. Dacă forța este în aceeași direcție cu deplasarea (cos (θ) = 0), aceasta își aduce contribuția maximă. Dacă este perpendiculară pe deplasare (cos (Ѳ) = 90), nu aduce deloc contribuție. Și dacă este opus deplasării, (cos (θ) = 180), aduce o contribuție negativă.
Să presupunem că un copil împinge un tren de jucărie peste o cale aplicând o forță de 5 N la un unghi de 25 de grade față de linia căii. Câtă muncă face copilul în tren când îl mută 0,5 m?
Soluţie:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0,5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ grade \\
Folosind definiția punct de lucru a produsului și conectând valori, obținem apoi:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0.5 \ times \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
Din acest exemplu concret, ar trebui să fie și mai clar că aplicarea unei forțe perpendiculare pe direcția de deplasare nu funcționează. Dacă copilul a împins trenul într-un unghi drept față de cale, trenul nu se va deplasa nici înainte, nici înapoi de-a lungul căii. De asemenea, este intuitiv că munca depusă de copil în tren va crește pe măsură ce unghiul scade și forța și deplasarea sunt mai aproape de aliniament.
Exemplul 2:Puterea este un alt exemplu de mărime fizică care poate fi calculată folosind un produs dot. În fizică, puterea este egală cu munca împărțită la timp, dar poate fi scrisă și ca produs punct al forței și vitezei, după cum se arată:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Undeveste viteza.
Luați în considerare exemplul anterior al copilului care se joacă cu trenul. Dacă, în schimb, ni se spune că se aplică aceeași forță, trenul se deplasează cu 2 m / s în jos pe cale, atunci putem folosi produsul punct pentru a găsi puterea:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9,06 \ text {Watts}
Exemplul 3:Un alt exemplu în care produsele dot sunt utilizate în fizică este în cazul fluxului magnetic. Fluxul magnetic este cantitatea de câmp magnetic care trece printr-o zonă dată. Se găsește ca produs punct al câmpului magneticBcu zonaA. (Direcția unui vector de zonă estenormalsau perpendicular pe suprafața zonei.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
Să presupunem că un câmp de 0,02 Tesla trece printr-o buclă de sârmă cu raza de 10 cm, făcând un unghi de 30 de grade cu normalul. Care este fluxul?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ times (\ pi \ times0.1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0.000544 \ text {Wb}
Când acest flux se modifică, fie prin schimbarea valorii câmpului, schimbarea zonei buclei sau modificarea unghi prin rotirea buclei sau a sursei de câmp, curentul va fi indus în buclă, generând electricitate!
Rețineți din nou modul în care unghiul este relevant într-un mod intuitiv. Dacă unghiul ar fi de 90 de grade, acest lucru ar însemna că câmpul ar sta de-a lungul aceluiași plan ca zona și că nicio linie de câmp nu ar trece prin buclă, rezultând niciun flux. Cantitatea de flux crește atunci cu cât unghiul dintre câmp și normal ajunge la 0. Produsul cu puncte ne permite să determinăm cât de mult din câmp este în direcția normală spre suprafață și, prin urmare, contribuie la flux.
Proiecția vectorială și produsul Dot
În secțiunile anterioare, s-a menționat că produsul dot poate fi gândit ca un mod de a proiecta un vector pe altul și apoi de a-și înmulți magnitudinile. Ca atare, nu ar trebui să fie surprinzător faptul că o formulă pentru proiecția vectorială poate fi derivată din produsul dot.
Pentru a proiecta vectorulApe vectorb, luăm produsul dot alAcuvectorul unitarin directiab, și apoi înmulțiți acest rezultat scalar cu același vector unitate.
Un vector unitate este un vector de lungime 1 care se află într-o anumită direcție. Vectorul unitar în direcția vectoruluibeste pur și simplu vectorbîmpărțit la magnitudinea sa:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Deci această proiecție este atunci:
\ text {Projection of} \ bold {a} \ text {upon} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b}
Produsul Dot în dimensiuni superioare
Așa cum există vectori în dimensiuni superioare, la fel există și produsul dot. Imaginați-vă exemplul copilului care împinge din nou trenul. Să presupunem că împinge ambele în jos și într-un unghi față de latura pistei. Într-un sistem de coordonate standard, vectorii de forță și deplasare ar trebui să fie reprezentați ca tridimensionali.
Înndimensiuni, produsul punct este definit după cum urmează:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Toate aceleași proprietăți ale produsului punct dinainte se aplică în continuare, iar legea cosinusului dă din nou relația:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
În cazul în care magnitudinea fiecărui vector se găsește prin următoarele, din nou în concordanță cu teorema lui Pitagora:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Cum să găsiți produsul Dot în trei dimensiuni
Exemplul 1:Produsul cu puncte este deosebit de util atunci când trebuie să găsim unghiul dintre doi vectori. De exemplu, să presupunem că vrem să determinăm unghiul dintreA= (2, 3, 2) șib= (1, 4, 0). Chiar dacă schițați acei doi vectori în 3 spații, poate fi foarte dificil să vă înfășurați capul în jurul geometriei. Dar matematica este destul de simplă, folosind faptul că:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ implică \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big)
Apoi calculând produsul punct alAșib:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
Și calculând magnitudinile fiecărui vector:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
Și, în cele din urmă, conectăm totul, obținem:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ times 4.12} \ Big) = \ boxed {34.4 \ grade}
Exemplul 2:O sarcină pozitivă se află la punctul de coordonate (3, 5, 4) în spațiul tridimensional. În ce punct de-a lungul liniei care indică în direcția vectoruluiA= (6, 9, 5) este câmpul electric cel mai mare?
Soluție: Din cunoștințele noastre despre cum se raportează puterea câmpului electric la distanță, știm că punctul pe linia cea mai apropiată de sarcina pozitivă este locația în care câmpul va fi cel mai puternic. Din cunoștințele noastre despre produsele dot, am putea ghici că folosirea formulei de proiecție are sens aici. Această formulă ar trebui să ne ofere un vector al cărui sfat este exact în punctul pe care îl căutăm.
Trebuie să calculăm:
\ text {Projection of} (3, 5, 4) \ text {upon} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Big) \ bold {a}
Pentru a face acest lucru, mai întâi, să găsim |A|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Apoi produsul dot:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ times6 + 5 \ times9 + 4 \ times5 = 83
Împărțind acest lucru cu |A|2 dă 83/142 = 0,585. Apoi înmulțiți acest scalar cuAdă:
0,585 \ bold {a} = 0,585 \ ori (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Prin urmare, punctul de-a lungul liniei în care câmpul este cel mai puternic este (3,51, 5,27, 2,93).