Uneori este necesar să găsim un vector diferit de zero care, atunci când este înmulțit cu o matrice pătrată, ne va da înapoi un multiplu al vectorului. Acest vector diferit de zero este numit „vector propriu”. Vectorii proprii nu sunt doar de interes pentru matematicieni, ci și pentru alții din profesii precum fizica și ingineria. Pentru a le calcula, va trebui să înțelegeți algebra matricială și factorii determinanți.
Aflați și înțelegeți definiția unui „vector propriu”. Se găsește pentru o matrice pătrată n x n A și, de asemenea, a valoare proprie scalară numită „lambda”. Lambda este reprezentată de litera greacă, dar aici o vom abrevia la L. Dacă există un vector x nul în care Ax = Lx, acest vector x se numește "valoarea proprie a lui A."
Găsiți valorile proprii ale matricei utilizând ecuația caracteristică det (A - LI) = 0. „Det” reprezintă determinantul, iar „I” este matricea identității.
Calculați vectorul propriu pentru fiecare valoare proprie găsind un spațiu propriu E (L), care este spațiul nul al ecuației caracteristice. Vectorii diferiți de zero ai lui E (L) sunt vectorii proprii ai lui A. Acestea se găsesc prin conectarea vectorilor proprii înapoi la matricea caracteristică și găsirea unei baze pentru A - LI = 0.
Calculați valorile proprii cu ajutorul ecuației caracteristice. Det (A - LI) este (3 - L) (3 - L) -1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, care este polinomul caracteristic. Rezolvarea algebrică ne dă L1 = 4 și L2 = 2, care sunt valorile proprii ale matricei noastre.
Găsiți vectorul propriu pentru L = 4 calculând spațiul nul. Faceți acest lucru plasând L1 = 4 în matricea caracteristică și găsind baza pentru A - 4I = 0. Rezolvând acest lucru, găsim x - y = 0 sau x = y. Aceasta are o singură soluție independentă, deoarece acestea sunt egale, cum ar fi x = y = 1. Prin urmare, v1 = (1,1) este un vector propriu care se întinde pe spațiul propriu al lui L1 = 4.
Repetați pasul 6 pentru a găsi vectorul propriu pentru L2 = 2. Găsim x + y = 0 sau x = --y. Aceasta are, de asemenea, o soluție independentă, să zicem x = --1 și y = 1. Prin urmare, v2 = (--1,1) este un vector propriu care se întinde pe spațiul propriu al lui L2 = 2.