Un triunghi echilateral este un triunghi cu toate cele trei laturi de lungime egală. Suprafața unui poligon bidimensional, cum ar fi un triunghi, este aria totală conținută de laturile poligonului. Cele trei unghiuri ale unui triunghi echilateral sunt de asemenea de aceeași măsură în geometria euclidiană. Deoarece măsura totală a unghiurilor unui triunghi euclidian este de 180 de grade, aceasta înseamnă că unghiurile unui triunghi echilateral măsoară toate 60 de grade. Aria unui triunghi echilateral poate fi calculată atunci când se cunoaște lungimea uneia dintre laturile sale.
Determinați aria unui triunghi atunci când baza și înălțimea sunt cunoscute. Luați oricare două triunghiuri identice cu baza s și înălțimea h. Putem forma oricând un paralelogram de bază s și înălțime h cu aceste două triunghiuri. Deoarece aria unui paralelogram este s x h, aria A a unui triunghi este deci ½ s x h.
Formați triunghiul echilateral în două triunghiuri dreptunghiulare cu segmentul de linie h. Hipotenuza unuia dintre aceste triunghiuri dreptunghiulare lungime s, una dintre picioare are lungime h și cealaltă picior are lungime s / 2.
Exprimă h în termeni de s. Folosind triunghiul dreptunghiular format la pasul 2, știm că s ^ 2 = (s / 2) ^ 2 + h ^ 2 după formula pitagorică. Prin urmare, h ^ 2 = s ^ 2 - (s / 2) ^ 2 = s ^ 2 - s ^ 2/4 = 3s ^ 2/4, iar acum avem h = (3 ^ 1/2) s / 2.
Înlocuiți valoarea h obținută în pasul 3 în formula pentru aria unui triunghi obținut în pasul 1. Deoarece A = ½ sxh și h = (3 ^ 1/2) s / 2, avem acum A = ½ s (3 ^ 1/2) s / 2 = (3 ^ 1/2) (s ^ 2) / 4.