Antes de discutir o centro de gravidade, vamos supor alguns parâmetros. Um, que você está lidando com um objeto que está na superfície da Terra, não em algum lugar do espaço. E dois, que o objeto é razoavelmente pequeno - digamos, não uma espaçonave que está estacionada na Terra, esperando para decolar. Assim que todas as influências extraterrestres forem eliminadas, você estará em uma boa posição para calcular o centro de gravidade de objetos geométricos usando um fórmula relativamente simples - e de fato, por causa dessas condições estabelecidas, você usará a mesma fórmula para encontrar o centro de gravidade e para encontrar o Centro de massa.
Como escrever sobre o centro de gravidade
O centro de gravidade em um plano bidimensional é geralmente denotado pelas coordenadas (xCG, yCG) ou às vezes pelas variáveisxeycom uma barra sobre eles. Além disso, o termo "centro de gravidade" às vezes é abreviado para cg.
Como Calcular CG de um Triângulo
Seu livro de matemática ou física geralmente contém gráficos para determinar o centro de equilíbrio de certas figuras. Mas, para algumas formas geométricas comuns, você pode usar a fórmula apropriada do centro de gravidade para encontrar o centro de gravidade dessa forma.
Para triângulos, o centro de gravidade fica no ponto onde as três medianas se cruzam. Se você começar em um vértice do triângulo e, em seguida, desenhar uma linha reta até o ponto médio do outro lado, isso é uma mediana. Faça o mesmo para os outros dois vértices, e o ponto onde as três medianas se cruzam é o centro de gravidade do triângulo.
E, claro, existe uma fórmula para isso. Se as coordenadas do centro de gravidade do triângulo forem (xCG, yCG), você encontra suas coordenadas da seguinte forma:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ texto {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Onde (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) são as coordenadas dos três vértices do triângulo. Você pode escolher qual vértice é atribuído a qual número.
Fórmula do centro de gravidade para um retângulo
Você notou que, para encontrar o centro de gravidade de um triângulo, basta calcular a média do valor das coordenadas x, em seguida, calcule a média do valor das coordenadas y e use os dois resultados como as coordenadas do seu centro de gravidade?
Para encontrar o centro de gravidade de um retângulo, você faz exatamente a mesma coisa. Mas para tornar seus cálculos ainda mais fáceis, suponha que o retângulo seja orientado diretamente para um plano de coordenadas (portanto, não é definido em um ângulo), e que seu vértice inferior esquerdo está na origem do gráfico. Nesse caso, para encontrar (xCG, yCG) para um retângulo, tudo que você precisa calcular é:
x_ {cg} = \ frac {\ text {largura}} {2} \\\ texto {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {altura}} {2}
Se você não quiser realocar seu retângulo para a origem do plano de coordenadas ou se por alguma razão ele não estiver exatamente em quadratura com o eixos coordenados, você pode enfrentar esta fórmula um pouco mais assustadora, mas ainda eficaz, para calcular a média de todas as suas coordenadas x para encontrar o valor de xCGe calcule a média de todas as coordenadas y para encontrar o valor de yCG:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ texto {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Equação do centro de gravidade
E se você precisar calcular o centro de gravidade de uma forma que se encaixa em todas as suposições mencionadas anteriormente (basicamente, você não está tentando fazer ciência de foguetes literalmente encontrando o centro de gravidade para objetos no espaço), mas não se enquadra em nenhuma das categorias mencionadas ou nos gráficos na parte de trás do seu livro didático? Em seguida, você pode subdividir sua forma em formas mais familiares e usar as seguintes equações para encontrar o centro de gravidade coletivo:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ texto {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Ou, dito de outra forma, xCG é igual à área da seção 1 vezes sua localização no eixo x, adicionado à área da seção 2 vezes sua localização e assim por diante até que você some a área vezes a localização de todas as seções; em seguida, divida todo esse valor pela área total de todas as seções. Em seguida, faça o mesmo para y.
P: Como encontro a área de cada seção?Dividir sua forma complexa ou irregular em polígonos mais familiares permite que você use fórmulas padronizadas para localizar a área. Por exemplo, se você dividiu essa forma em peças retangulares, pode usar a fórmula comprimento x largura para encontrar a área de cada peça.
P: Qual é a "localização" de cada seção?A localização de cada seção é a coordenada apropriada do centro de gravidade daquela seção. Então, se você quiser,2 (a localização do segmento 2), você realmente precisa fornecer a coordenada y para o centro de gravidade desse segmento. Novamente, é por isso que você subdivide um objeto de formato estranho em formas mais familiares, porque você pode usar o fórmulas já discutidas para encontrar o centro de gravidade de cada forma e, em seguida, extrair a coordenada apropriada (s).
P: Onde minha forma vai no plano de coordenadas?Você pode escolher onde sua forma fica no plano de coordenadas - apenas tenha em mente que o centro de gravidade de sua resposta estará em relação ao mesmo ponto de referência. É mais fácil colocar seu objeto no primeiro quadrante do gráfico, com sua borda inferior contra o eixo x e a borda esquerda contra o eixo y para que todos os valores xey sejam positivos, mas também pequenos o suficiente para ser gerenciável.
Truques para encontrar o centro de gravidade
Se você está lidando com um único objeto, às vezes só precisa de intuição e um pouco de lógica para encontrar seu centro de gravidade. Por exemplo, se você estiver considerando um disco plano, o centro de gravidade será o centro do disco. Em um cilindro, é o ponto médio do eixo do cilindro. Para um retângulo (ou quadrado), é o ponto onde as linhas diagonais convergem.
Você deve ter notado um padrão aqui: se o objeto em questão tem uma linha de simetria, o centro de gravidade estará nessa linha. E se ele tiver vários eixos de simetria, o centro de gravidade será onde esses eixos se cruzam.
Finalmente, se você está tentando encontrar o centro de gravidade de um objeto verdadeiramente complexo, você tem duas opções: Ou sacar suas melhores integrais de cálculo (ver Recursos para uma integral tripla que representa o centro de gravidade para uma massa não uniforme) ou insira seus dados em um centro de gravidade criado para esse fim calculadora. (Consulte Recursos para obter um exemplo de calculadora do centro de gravidade para aviões controlados por rádio.)