Digamos que você tenha uma função, y = f (x), onde y é uma função de x. Não importa qual seja a relação específica. Pode ser y = x ^ 2, por exemplo, uma parábola simples e familiar que passa pela origem. Pode ser y = x ^ 2 + 1, uma parábola com uma forma idêntica e um vértice uma unidade acima da origem. Pode ser uma função mais complexa, como y = x ^ 3. Independentemente de qual seja a função, uma linha reta passando por quaisquer dois pontos na curva é uma linha secante.
Pegue os valores xey para quaisquer dois pontos que você sabe que estão na curva. Os pontos são dados como (valor x, valor y), então o ponto (0, 1) significa o ponto no plano cartesiano onde x = 0 ey = 1. A curva y = x ^ 2 + 1 contém o ponto (0, 1). Ele também contém o ponto (2, 5). Você pode confirmar isso inserindo cada par de valores para xey na equação e garantindo que a equação equilibre os dois tempos: 1 = 0 + 1, 5 = 2 ^ 2 + 1. Ambos (0, 1) e (2, 5) são pontos da curva y = x ^ 2 +1. Uma linha reta entre eles é uma secante e ambos (0, 1) e (2, 5) também farão parte dessa linha reta.
Determine a equação para a linha reta que passa por esses dois pontos, escolhendo valores que satisfaçam a equação y = mx + b - a equação geral para qualquer linha reta - para ambos os pontos. Você já sabe que y = 1 quando x é 0. Isso significa 1 = 0 + b. Portanto, b deve ser igual a 1.
Substitua os valores de xey no segundo ponto da equação y = mx + b. Você sabe y = 5 quando x = 2 e sabe b = 1. Isso dá a você 5 = m (2) + 1. Portanto, m deve ser igual a 2. Agora você conhece m e b. A linha secante entre (0, 1) e (2, 5) é y = 2x + 1
Escolha um par diferente de pontos em sua curva e você pode determinar uma nova linha secante. Na mesma curva, y = x ^ 2 + 1, você pode pegar o ponto (0, 1) como fez antes, mas desta vez selecione (1, 2) como o segundo ponto. Coloque (1, 2) na equação da curva e você terá 2 = 1 ^ 2 + 1, o que é obviamente correto, então você sabe que (1, 2) também está na mesma curva. A linha secante entre esses dois pontos é y = mx + b: Colocando 0 e 1 em xey, você obterá: 1 = m (0) + b, então b ainda é igual a um. Colocando o valor para o novo ponto, (1, 2) dá 2 = mx + 1, que se equilibra se m é igual a 1. A equação para a reta secante entre (0, 1) e (1, 2) é y = x + 1.
Referências
- University of California, Santa Barbara: Secant Lines, Tangent Lines, and Limit Definition of a Derivative.
- Wolfram Math World: Secant Line
Pontas
- Observe que a linha secante muda conforme você escolhe um segundo ponto mais próximo do primeiro ponto. Você sempre pode escolher um ponto na curva mais próximo do que antes e obter uma nova linha secante. À medida que seu segundo ponto se aproxima cada vez mais de seu primeiro ponto, a linha secante entre os dois se aproxima da tangente à curva do primeiro ponto.
Sobre o autor
Andrew Breslin escreve profissionalmente desde 1994. Seus artigos e artigos de opinião foram publicados no "South Florida Sun Sentinel", "St Paul Pioneer Press", "Detroit Free Press", "Charlotte Observer", "Good Medicine" e outros. Ele estudou biologia molecular na Westchester University e freqüentemente escreve sobre ciências e matemática.
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