Como resolver uma equação de raiz quadrada

A raiz quadrada de um número é um valor que, quando multiplicado por ele mesmo, dá o número original. Por exemplo, a raiz quadrada de 0 é 0, a raiz quadrada de 100 é 10 e a raiz quadrada de 50 é 7,071. Às vezes, você pode descobrir, ou simplesmente lembrar, a raiz quadrada de um número que é um "quadrado perfeito", que é o produto de um inteiro multiplicado por ele mesmo; à medida que avança nos estudos, é provável que você desenvolva uma lista mental desses números (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problemas envolvendo raízes quadradas são indispensáveis ​​em engenharia, cálculo e virtualmente em todos os domínios do mundo moderno. Embora você possa localizar facilmente calculadoras de equação de raiz quadrada online (consulte Recursos para obter um exemplo), resolver equações de raiz quadrada é um importante habilidade em álgebra, porque permite que você se familiarize com o uso de radicais e trabalhe com uma série de tipos de problemas fora do reino das raízes quadradas per se.

O fato de que a multiplicação de dois números negativos resulta em um número positivo é importante no mundo das raízes quadradas porque implica que os números positivos têm, na verdade, duas raízes quadradas (por exemplo, as raízes quadradas de 16 são 4 e −4, mesmo que apenas a primeira seja intuitiva). Da mesma forma, os números negativos não têm raízes quadradas reais, porque não há nenhum número real que assume um valor negativo quando multiplicado por si mesmo. Nesta apresentação, a raiz quadrada negativa de um número positivo será ignorada, de modo que "raiz quadrada de 361" pode ser tomada como "19" em vez de "−19 e 19."

Além disso, ao tentar estimar o valor de uma raiz quadrada quando nenhuma calculadora é útil, é importante perceber que as funções que envolvem quadrados e raízes quadradas não são lineares. Você verá mais sobre isso na seção sobre gráficos posteriormente, mas como um exemplo aproximado, você já observou que a raiz quadrada de 100 é 10 e a raiz quadrada de 0 é 0. À primeira vista, isso pode levar você a supor que a raiz quadrada de 50 (que está no meio do caminho entre 0 e 100) deve ser 5 (que está no meio do caminho entre 0 e 10). Mas você também já aprendeu que a raiz quadrada de 50 é 7,071.

Finalmente, você pode ter internalizado a ideia de que multiplicar dois números resulta em um número maior do que ele mesmo, o que implica que as raízes quadradas dos números são sempre menores do que o original número. Este não é o caso! Os números entre 0 e 1 também têm raízes quadradas e, em todos os casos, a raiz quadrada é maior que o número original. Isso é mostrado mais facilmente usando frações. Por exemplo, 16/25, ou 0,64, tem um quadrado perfeito tanto no numerador quanto no denominador. Isso significa que a raiz quadrada da fração é a raiz quadrada de seus componentes superior e inferior, que é 4/5. Isso é igual a 0,80, um número maior que 0,64.

"A raiz quadrada dex"geralmente é escrito usando o que é chamado de sinal de radical ou apenas um radical (√). Assim, para qualquerx​:

representa sua raiz quadrada. Invertendo isso, o quadrado de um númeroxé escrito usando um expoente de 2 (x​²). Os expoentes assumem sobrescritos em aplicativos de processamento de texto e relacionados e também são chamados de poderes. Como os sinais radicais nem sempre são fáceis de produzir sob demanda, outra maneira de escrever "a raiz quadrada dex"é usar um expoente:

Isso, por sua vez, faz parte de um esquema geral:

significa "aumentarxao poder dey, então pegue o 'z'raiz disso. "x​^1/2 portanto, significa "aumentarxao primeiro poder, que é simplesmentexnovamente e, em seguida, obtenha a raiz 2, ou a raiz quadrada. "Estendendo isso,x​^(5/3) significa "aumentarxà potência de 5 e, em seguida, encontre a terceira raiz (ou raiz cúbica) do resultado. "

Radicais podem ser usados ​​para representar raízes diferentes de 2, a raiz quadrada. Isso é feito simplesmente anexando um sobrescrito no canto superior esquerdo do radical.

então, representa o mesmo número quex​^(5/3) do parágrafo anterior sim.

A maioria das raízes quadradas são números irracionais. Isso significa que não são apenas inteiros legais e legais (por exemplo, 1, 2, 3, 4.. .), mas também não podem ser expressos como um número decimal puro que termina sem ter de ser arredondado. Um número racional pode ser expresso como uma fração. Portanto, embora 2,75 não seja um número inteiro, é um número racional porque é a mesma coisa que a fração 11/4. Disseram-lhe anteriormente que a raiz quadrada de 50 é 7,071, mas na verdade isso é arredondado de um número infinito de casas decimais. O valor exato de √50 é 5√2 e você verá como isso é determinado em breve.

Você já viu que as equações envolvendo quadrados e raízes quadradas não são lineares. Uma maneira fácil de lembrar isso é que os gráficos das soluções dessas equações não são retas. Isso faz sentido, porque se, como observado, o quadrado de 0 é 0 e o quadrado de 10 é 100, mas o quadrado de 5 não é 50, o gráfico resultante de simplesmente elevar um número ao quadrado deve se curvar até o correto valores.

Este é o caso do gráfico de

como você pode ver por si mesmo visitando a calculadora nos Recursos e alterando os parâmetros. A linha passa pelo ponto (0,0), ey não vai abaixo de 0, o que você deve esperar porque você sabe quex​² nunca é negativo. Você também pode ver que o gráfico é simétrico em torno doy-eixo, o que também faz sentido porque cada raiz quadrada positiva de um determinado número é acompanhada por uma raiz quadrada negativa de igual magnitude. Portanto, com exceção de 0, todoyvalor no gráfico dey​ = ​x​² está associado a doisx-valores.

Uma maneira de resolver problemas básicos de raiz quadrada manualmente é procurar quadrados perfeitos "escondidos" dentro do problema. Primeiro, é importante estar ciente de algumas propriedades vitais dos quadrados e das raízes quadradas. Um deles é que, assim como √x​² é simplesmente igual ax(porque o radical e o expoente se cancelam):

Ou seja, se você tem um quadrado perfeito sob um radical multiplicando outro número, você pode "puxá-lo" e usá-lo como um coeficiente do que resta. Por exemplo, retornando à raiz quadrada de 50

Às vezes, você pode acabar com um número envolvendo raízes quadradas que é expresso como uma fração, mas ainda é um número irracional porque o denominador, o numerador ou ambos contêm um radical. Em tais casos, você pode ser solicitado a racionalizar o denominador. Por exemplo, o número

tem um radical no numerador e no denominador. Mas depois de examinar "45", você pode reconhecê-lo como o produto de 9 e 5, o que significa que

Portanto, a fração pode ser escrita

Os radicais se cancelam e você fica com 6/3 = 2.