Como resolver sistemas de equações por meio de gráficos

Os sistemas de equações podem ajudar a resolver questões da vida real em todos os tipos de campos, da química aos negócios e aos esportes. Resolvê-los não é importante apenas para suas notas de matemática; pode poupar muito tempo, quer esteja tentando definir metas para seu negócio ou sua equipe esportiva.

TL; DR (muito longo; Não li)

Para resolver um sistema de equações por meio de gráficos, represente graficamente cada linha no mesmo plano de coordenadas e veja onde elas se cruzam.

Por exemplo, imagine que você e seu amigo estão montando uma banca de limonada. Você decide dividir para conquistar, então seu amigo vai para a quadra de basquete do bairro enquanto você fica na esquina de sua família. No final do dia, você junta seu dinheiro. Juntos, vocês ganharam $ 200, mas seu amigo ganhou $ 50 a mais do que você. Quanto dinheiro cada um de vocês ganhou?

Ou pense no basquete: chutes feitos fora da linha de 3 pontos valem 3 pontos, cestas feitas dentro da linha de 3 pontos valem 2 pontos e lances livres valem apenas 1 ponto. Seu oponente está 19 pontos à sua frente. Que combinações de cestos você poderia fazer para se recuperar?

A representação gráfica é uma das maneiras mais simples de resolver sistemas de equações. Tudo que você precisa fazer é representar graficamente as duas linhas no mesmo plano de coordenadas e, em seguida, ver onde elas se cruzam.

Primeiro, você precisa escrever a palavra problema como um sistema de equações. Atribua variáveis ​​às incógnitas. Pague o dinheiro que você ganhaY, e o dinheiro que seu amigo ganhaF​.

Agora você tem dois tipos de informações: informações sobre quanto dinheiro vocês ganharam juntos e informações sobre como o dinheiro que vocês ganharam em comparação com o dinheiro que seu amigo ganhou. Cada um deles se tornará uma equação.

Para a primeira equação, escreva:

já que seu dinheiro mais o dinheiro do seu amigo somam $ 200.

Em seguida, escreva uma equação para descrever a comparação entre seus ganhos.

porque o valor que você ganhou é igual a 50 dólares a menos do que o seu amigo ganhou. Você também pode escrever esta equação comoY​ + 50 = ​F, já que o que você ganhou mais 50 dólares é igual ao que seu amigo ganhou. Essas são maneiras diferentes de escrever a mesma coisa e não mudarão sua resposta final.

Portanto, o sistema de equações é assim:

Em seguida, você precisa representar graficamente as duas equações no mesmo plano de coordenadas. Faça um gráfico do seu valor,Y, noy-axis e a quantidade do seu amigo,F, nox-axis (na verdade não importa qual é qual, contanto que você os rotule corretamente). Você pode usar papel milimetrado e um lápis, uma calculadora gráfica portátil ou uma calculadora gráfica online.

No momento, uma equação está na forma padrão e a outra está na forma declive-interceptação. Isso não é um problema, necessariamente, mas por uma questão de consistência, coloque as duas equações na forma de declive-interceptação.

Portanto, para a primeira equação, converta da forma padrão para a forma de interceptação de declive. Isso significa resolver paraY; em outras palavras, pegueYpor si só no lado esquerdo do sinal de igual. Então subtraiaFde ambos os lados:

Lembre-se de que na forma de interceptação da inclinação, o número na frente do F é a inclinação e a constante é a interceptação do y.

Para representar graficamente a primeira equação,Y​ = −​F+ 200, desenhe um ponto em (0, 200) e use a inclinação para encontrar mais pontos. A inclinação é -1, então desça uma unidade e depois de uma unidade e desenhe um ponto. Isso cria um ponto em (1, 199), e se você repetir o processo começando com esse ponto, você obterá outro ponto em (2, 198). Esses são movimentos minúsculos em uma linha grande, então desenhe mais um ponto nox-interceptar para ter certeza de que as coisas estão bem representadas no gráfico a longo prazo. SeY= 0, entãoFserá 200, então trace um ponto em (200, 0).

Para representar graficamente a segunda equação,Y​ = ​F- 50, use a interceptação y de −50 para desenhar o primeiro ponto em (0, −50). Como a inclinação é 1, comece em (0, −50) e aumente uma unidade e passe de uma unidade. Isso o coloca em (1, −49). Repita o processo começando em (1, −49) e você obterá um terceiro ponto em (2, −48). Mais uma vez, para ter certeza de que você está fazendo as coisas de maneira organizada em longas distâncias, verifique-se também desenhando ox-interceptar. QuandoY​ = 0, ​Fserá 50, portanto, também trace um ponto em (50, 0). Desenhe uma linha simples conectando esses pontos.

Dê uma olhada em seu gráfico para ver onde as duas linhas se cruzam. Esta será a solução, porque a solução para um sistema de equações é o ponto (ou pontos) que tornam ambas as equações verdadeiras. Em um gráfico, isso se parecerá com o ponto (ou pontos) onde as duas linhas se cruzam.

Neste caso, as duas linhas se cruzam em (125, 75). Portanto, a solução é que seu amigo (ox-coordenada) fez $ 125 e você (oy-coordenar) fez $ 75.

Verificação lógica rápida: isso faz sentido? Juntos, os dois valores somam 200 e 125 é 50 mais do que 75. Soa bem.

Nesse caso, havia exatamente um ponto onde as duas linhas se cruzavam. Ao trabalhar com sistemas de equações, existem três resultados possíveis e cada um terá uma aparência diferente em um gráfico.

• Se o sistema tiver uma solução, as linhas se cruzarão em um único ponto, como fizeram no exemplo.
• Se o sistema não tiver soluções, as linhas nunca se cruzarão. Eles serão paralelos, o que em termos algébricos significa que terão a mesma inclinação.
• O sistema também pode ter soluções infinitas, o que significa que suas "duas" linhas são na verdade a mesma linha. Portanto, eles terão todos os pontos em comum, o que é um número infinito de soluções.