O conceito deautovaloresé obscuro, mas é muito útil para matemáticos e cientistas físicos que enfrentam certos problemas interessantes.
Para entender um valor próprio, imagine ter uma função (por exemplo,y = x2 + 6x, ouy= log 4x) que você pode submeter a algum processo de forma que o resultado seja o mesmo que multiplicar a função inteira por um valor constante. Tal função seria qualificada como umautofunção, e a constante seria um autovalor.
- "Eigen" significa "mesmo" em alemão.
Para melhor compreender os valores próprios e as funções próprias, e ser capaz de calcular os valores próprios por conta própria, você precisa de um conhecimento básico de matrizes. Esses truques matemáticos são usados para determinar, digamos, a ordem do vínculo do NÃO2 (dióxido de nitrogênio) e outras moléculas, porque o comportamento do elétron nos átomos é determinado por funções de onda que se qualificam como autofunções.
O que é uma matriz?
Uma matriz é uma matriz de números ordenados em linhas e colunas, que podem numerar de 1 a
\ begin {bmatrix} 3 e 0 e 4 \\ 1 e 3 e 5 \\ \ end {bmatrix}
As matrizes podem ser somadas se tiverem o mesmo tamanho (ou seja, o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas). Eles também podem ser multiplicados juntos por um processo gradual nas mesmas condições. Além disso, qualquer matriz pode ser multiplicada por um vetor, que é 1 pornounmatriz -por-1; isso inclui outros vetores.
O que é uma equação de autovalor?
Diga que você tem umn-de-nou matriz "quadrada"UMA, um diferente de zeron-por-1 vetorv, e um escalarλ, de modo que a seguinte equação seja satisfeita:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Qualquer valor deλpara o qual esta equação tem uma solução é conhecido como um autovalor da matrizUMA.
Não deixe sua mente tratar as expressões acima como um produto.UMAé umoperadorem, ou uma transformação linear de, o vetorv, este cálculo sendo possível apenas porqueUMAevambos têmnlinhas.
Por que usar funções de autovalor?
A derivação é complicada, mas na química atômica, o operador hamiltoniano "H-bar" é usado para expressar a energia cinética e potencial de um sistema:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
Isso é usado para escrever uma forma deEquação de função de onda de Schrodingerna mecânica quântica:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
AquiErepresenta os valores próprios que satisfazem esta equação.
Maneiras de Encontrar os Valores Próprios de uma Matriz
Da equação Av = λv, você obtémUMA v − λv=0. Isto leva a:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
Ondeeué a matriz de identidade 2 por 2 com linhas de [λ0] e [0λ], levando a 1 quando multiplicado pelo escalarλ. Este resultado produz:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Qual sevé diferente de zero, só tem solução se o valor absoluto deUMA− λeu, ou |UMA − λeu|, é zero. Se você fizer isso manualmente, isso envolve a resolução de uma equação quadrática e pode ser entediante.
Para multiplicar duas matrizes, para cada ponto na matriz do produto, você multiplica os pontos correspondentes. e adicione isso aos produtos dos elementos de linha e coluna restantes na linha e coluna para os quais o novo ponto pertence.
Na multiplicação de duas matrizes 2 por 2UMAeBjuntos, se a primeira linha deUMAé [1 3] e a primeira coluna deBfor [2 5], o número na primeira coluna e linha da nova matriz seria [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, e correspondentemente para os outros três pontos.
Calcular valores próprios online
Nos Recursos, você encontrará uma ferramenta de cálculo de matriz que permite encontrar autovalores e muito mais para uma matriz de quase qualquer tamanho concebível.