Todos os alunos de matemática e muitos alunos de ciências encontram polinômios em algum estágio durante seus estudos, mas felizmente eles são fáceis de lidar depois que você aprende o básico. As principais operações que você precisa fazer com as expressões polinomiais são adicionar, subtrair, multiplicar e divisão, e embora a divisão possa ser complexa, na maioria das vezes você será capaz de lidar com o básico com facilidade.
Polinômios: definição e exemplos
Polinomial descreve uma expressão algébrica com um ou mais termos envolvendo uma variável (ou mais de uma), com expoentes e possivelmente constantes. Eles não podem incluir a divisão por uma variável, não podem ter expoentes negativos ou fracionários e devem ter um número finito de termos.
Este exemplo mostra um polinômio:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
E isso mostra outro:
xy ^ 2 - 3 x + y
Existem muitas maneiras de classificar polinômios, incluindo por grau (a soma dos expoentes no termo de maior potência, por exemplo, 3 no primeiro exemplo) e pelo número de termos que eles contêm, como monômios (um termo), binômios (dois termos) e trinômios (três termos).
Adicionando e subtraindo polinômios
Adicionar e subtrair polinômios depende da combinação de termos “semelhantes”. Um termo semelhante é aquele com as mesmas variáveis e expoentes de outro, mas o número pelo qual eles são multiplicados (o coeficiente) pode ser diferente. Por exemplo,x2 e 4x 2 são como termos porque têm a mesma variável e expoente, e 2xy 4 e 6xy 4 são como termos também. Contudo,x2, x3, x2y2 ey2 não são termos semelhantes, porque cada um contém combinações diferentes de variáveis e expoentes.
Adicione polinômios combinando termos semelhantes da mesma forma que faria com outros termos algébricos. Por exemplo, veja o problema:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Colete os termos semelhantes para obter:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
E então avalie simplesmente somando os coeficientes e combinando em um único termo:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Observe que você não pode fazer nada comyporque não tem um termo parecido.
A subtração funciona da mesma maneira:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Primeiro, observe que todos os termos no colchete direito são subtraídos daqueles no colchete esquerdo, então escreva como:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Combine os termos semelhantes e avalie para obter:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Para um problema como este:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Observe que o sinal de menos é aplicado a toda a expressão no colchete direito, portanto, os dois sinais negativos antes de 3x2 tornar-se um sinal de adição:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Em seguida, calcule como antes.
Multiplicando Expressões Polinomiais
Multiplique expressões polinomiais usando a propriedade distributiva de multiplicação. Em suma, multiplique todos os termos do primeiro polinômio por todos os termos do segundo. Veja este exemplo simples:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Você resolve isso usando a propriedade distributiva, então:
\ begin {alinhado} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {alinhado}
Enfrente problemas mais complicados da mesma maneira:
\ begin {alinhado} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {alinhado}
Esses problemas podem se complicar para grupos maiores, mas o processo básico ainda é o mesmo.
Dividindo Expressões Polinomiais
A divisão de expressões polinomiais leva mais tempo, mas você pode resolver isso em etapas. Observe a expressão:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Primeiro, escreva a expressão como uma divisão longa, com o divisor à esquerda e o dividendo à direita:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor e coloque o resultado na linha acima da divisão. Nesse caso,x2 ÷ x = x, tão:
\ begin {alinhado} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {alinhado}
Multiplique este resultado por todo o divisor, portanto, neste caso, (x + 2) × x = x2 + 2 x. Coloque este resultado abaixo da divisão:
\ begin {alinhados} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {alinhados}
Subtraia o resultado na nova linha dos termos diretamente acima dela (observe que tecnicamente você altera o sinal, portanto, se você tivesse um resultado negativo, você o adicionaria) e coloque-o em uma linha abaixo dele. Mova o termo final do dividendo original para baixo também.
\ begin {alinhados} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {alinhados}
Agora repita o processo com o divisor e o novo polinômio na linha inferior. Portanto, divida o primeiro termo do divisor (x) pelo primeiro período do dividendo (−5x) e coloque isso acima:
\ begin {alinhados} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {alinhados}
Multiplique este resultado (−5x ÷ x= −5) pelo divisor original (então (x + 2) × −5 = −5 x−10) e coloque o resultado em um novo resultado final:
\ begin {alinhado} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ end {alinhado}
Em seguida, subtraia o resultado final do próximo para cima (portanto, neste caso, altere o sinal e adicione) e coloque o resultado em um novo resultado final:
\ begin {alinhado} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {alinhado}
Como agora há uma linha de zeros na parte inferior, o processo está concluído. Se houvesse termos diferentes de zero restantes, você repetiria o processo novamente. O resultado está na linha superior, então:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Esta divisão e algumas outras podem ser resolvidas de forma mais simples se você puder fatorar o polinômio no dividendo.