Aprender a lidar com expoentes é parte integrante de qualquer educação matemática, mas felizmente as regras para multiplicá-los e dividi-los correspondem às regras para expoentes não fracionários. A primeira etapa para entender como lidar com expoentes fracionários é obter um resumo do que exatamente eles são, e então você pode ver as maneiras de combinar expoentes quando eles são multiplicados ou divididos e têm o mesmo base. Em resumo, você adiciona os expoentes ao multiplicar e subtrai um do outro ao dividir, desde que tenham a mesma base.
TL; DR (muito longo; Não li)
Multiplique os termos com os expoentes usando a regra geral:
xuma + xb = x(uma + b)
E divida os termos com expoentes usando a regra:
xuma ÷ xb = x(uma – b)
Essas regras funcionam com qualquer expressão no lugar deumaeb, até mesmo frações.
O que são expoentes fracionários?
Os expoentes fracionários fornecem uma maneira compacta e útil de expressar raízes quadradas, cúbicas e superiores. O denominador no expoente informa qual raiz do número “base” o termo representa. Em um termo como
xuma, você chamaxa base eumao expoente. Portanto, um expoente fracionário diz a você:x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
O denominador de dois no expoente indica que você está obtendo a raiz quadrada dexnesta expressão. A mesma regra básica se aplica às raízes superiores:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
E
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Esse padrão continua. Para um exemplo concreto:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
E
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Regras do expoente de fração: Multiplicando expoentes fracionários com a mesma base
Multiplique os termos com expoentes fracionários (desde que tenham a mesma base) somando os expoentes. Por exemplo:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
Desde ax1/3 significa “a raiz cúbica dex, ”Faz todo o sentido que multiplicado por si mesmo duas vezes dê o resultadox. Você também pode encontrar exemplos comox1/3 × x1/3, mas você lida com isso exatamente da mesma maneira:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
O fato de que a expressão no final ainda é um expoente fracionário não faz diferença para o processo. Isso pode ser simplificado se você notar quex2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. Com uma expressão como esta, não importa se você tira a raiz ou o poder primeiro. Este exemplo ilustra como calcular estes:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Uma vez que a raiz cúbica de 8 é fácil de calcular, resolva isso da seguinte maneira:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Então, isso significa:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Você também pode encontrar produtos de expoentes fracionários com números diferentes nos denominadores das frações e pode adicionar esses expoentes da mesma forma que adicionaria outras frações. Por exemplo:
\ begin {alinhado} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {alinhado}
Todas essas são expressões específicas da regra geral para multiplicar duas expressões com expoentes:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Regras do expoente de fração: Dividindo expoentes fracionários com a mesma base
Combine as divisões de dois números com expoentes fracionários subtraindo o expoente que você está dividindo (o divisor) por aquele que você está dividindo (o dividendo). Por exemplo:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
Isso faz sentido, porque qualquer número dividido por si mesmo é igual a um, e isso concorda com o resultado padrão de que qualquer número elevado a uma potência de 0 é igual a um. O próximo exemplo usa números como bases e diferentes expoentes:
\ begin {alinhado} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ end {alinhado}
Que você também pode ver se notar que 161/2 = 4 e 161/4 = 2.
Como na multiplicação, você também pode acabar com expoentes fracionários que têm um número diferente de um no numerador, mas você lida com eles da mesma maneira.
Eles simplesmente expressam a regra geral para a divisão de expoentes:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Multiplicando e dividindo expoentes fracionários em bases diferentes
Se as bases dos termos forem diferentes, não haverá uma maneira fácil de multiplicar ou dividir os expoentes. Nestes casos, basta calcular o valor dos termos individuais e, em seguida, realizar a operação necessária. A única exceção é se o expoente for o mesmo, caso em que você pode multiplicá-los ou dividi-los da seguinte maneira:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4
