Você pode observar as relações inversas na matemática de três maneiras. A primeira maneira é considerar as operações que se cancelam. Adição e subtração são as duas operações mais óbvias que se comportam dessa maneira.
Uma segunda maneira de ver as relações inversas é considerar o tipo de curvas que elas produzem quando você representa graficamente as relações entre duas variáveis. Se a relação entre as variáveis for direta, a variável dependente aumenta quando você aumenta a variável independente, e o gráfico se curva em direção ao aumento dos valores de ambas as variáveis. No entanto, se a relação for inversa, a variável dependente fica menor quando a independente aumenta e o gráfico se curva em direção a valores menores da variável dependente.
Certos pares de funções fornecem um terceiro exemplo de relações inversas. Quando você representa graficamente funções que são inversas entre si em um eixo x-y, as curvas aparecem como imagens espelhadas uma da outra em relação à linha x = y.
Operações matemáticas inversas
A adição é a mais básica das operações aritméticas e vem com um gêmeo do mal - a subtração - que pode desfazer o que faz. Digamos que você comece com 5 e adicione 7. Você obtém 12, mas se subtrair 7, ficará com o 5 com o qual começou. O inverso da adição é a subtração e o resultado líquido da adição e subtração do mesmo número é equivalente a somar 0.
Uma relação inversa semelhante existe entre multiplicação e divisão. O resultado líquido da multiplicação e divisão de um número pelo mesmo fator é multiplicar o número por 1, o que o deixa inalterado. Essa relação inversa é útil para simplificar expressões algébricas complexas e resolver equações.
Outro par de operações matemáticas inversas é elevar um número a um expoente "n"e pegando ona raiz do número. A relação quadrada é a mais fácil de considerar. Se você elevar ao quadrado 2, obterá 4, e se tirar a raiz quadrada de 4, obterá 2. Essa relação inversa também é útil para lembrar ao resolver equações complexas.
As funções podem ser inversas ou diretas
Uma função é uma regra que produz um, e apenas um, resultado para cada número inserido. O conjunto de números que você inserir é chamado de domínio da função e o conjunto de resultados que a função produz é o intervalo. Se a função for direta, uma sequência de domínio de números positivos que fica maior produz uma sequência de intervalo de números que também fica maior.
f (x) = 2x + 2, f (x) = x ^ 2 \ text {e} f (x) = \ sqrt {x}
são todas funções diretas.
Uma função inversa se comporta de maneira diferente. Quando os números no domínio ficam maiores, os números no intervalo ficam menores.
f (x) = \ frac {1} {x}
é a forma mais simples de uma função inversa. Conforme x fica maior, f (x) fica cada vez mais perto de 0. Basicamente, qualquer função com a variável de entrada no denominador de uma fração, e apenas no denominador, é uma função inversa. Outros exemplos incluem
f (x) = \ frac {n} {x}
Ondené qualquer número,
f (x) = \ frac {n} {\ sqrt {x}}
e
f (x) = \ frac {n} {x + w}
OndeCé um número inteiro qualquer.
Duas funções podem ter uma relação inversa entre si
Um terceiro exemplo de relação inversa em matemática é um par de funções que são inversas entre si. Como exemplo, suponha que você insira os números 2, 3, 4 e 5 na função
y = 2x + 1
Você obtém estes pontos: (2,5), (3,7), (4,9) e (5,11). Esta é uma linha reta com inclinação 2 ey-intercept 1.
Agora inverta os números entre parênteses para criar uma nova função: (5,2), (7,3), (9,4) e (11,5). O intervalo da função original torna-se o domínio da nova e o domínio da função original torna-se o intervalo da nova. Também é uma linha, mas sua inclinação é 1/2 e seuy-intercept é -1/2. Usando o
y = mx + b
forma de uma linha, você descobre que a equação da linha é
y = \ frac {1} {2} (x - 1)
Este é o inverso da função original. Você poderia obtê-lo facilmente trocandoxeyna função original e simplificando para obterysozinho à esquerda do sinal de igual.