As raízes de um polinômio também são chamadas de seus zeros, porque as raízes são osxvalores em que a função é igual a zero. Quando se trata de realmente encontrar as raízes, você tem várias técnicas à sua disposição; a fatoração é o método que você usará com mais frequência, embora a representação gráfica também possa ser útil.
Quantas raízes?
Examine o termo de grau mais alto do polinômio - ou seja, o termo com o expoente mais alto. Esse expoente é quantas raízes o polinômio terá. Portanto, se o expoente mais alto em seu polinômio for 2, ele terá duas raízes; se o expoente mais alto for 3, ele terá três raízes; e assim por diante.
Avisos
-
Há um problema: as raízes de um polinômio podem ser reais ou imaginárias. As raízes "reais" são membros do conjunto conhecido como números reais, que neste ponto de sua carreira matemática são todos os números com os quais você está acostumado a lidar. Dominar números imaginários é um assunto totalmente diferente, então, por enquanto, lembre-se de três coisas:
- Raízes "imaginárias" surgem quando você tem a raiz quadrada de um número negativo. Por exemplo, √ (-9).
- As raízes imaginárias sempre vêm aos pares.
- As raízes de um polinômio podem ser reais ou imaginárias. Portanto, se você tiver um polinômio de 5º grau, ele pode ter cinco raízes reais, pode ter três raízes reais e duas raízes imaginárias e assim por diante.
Encontre raízes por fatoração: Exemplo 1
A maneira mais versátil de encontrar raízes é fatorar seu polinômio o máximo possível e, em seguida, definir cada termo igual a zero. Isso faz muito mais sentido depois de seguir alguns exemplos. Considere o polinômio simplesx2 – 4x:
Um breve exame mostra que você pode fatorarxde ambos os termos do polinômio, o que dá a você:
x (x - 4)
Defina cada termo como zero. Isso significa resolver duas equações:
x = 0
é o primeiro termo definido como zero, e
x - 4 = 0
é o segundo termo definido como zero.
Você já tem a solução para o primeiro período. Sex= 0, então a expressão inteira é igual a zero. Entãox= 0 é uma das raízes, ou zeros, do polinômio.
Agora, considere o segundo termo e resolva parax. Se você adicionar 4 a ambos os lados, terá:
x - 4 + 4 = 0 + 4
que simplifica para:
x = 4
Então sex= 4 então o segundo fator é igual a zero, o que significa que todo o polinômio é igual a zero também.
Como o polinômio original era de segundo grau (o expoente mais alto era dois), você sabe que há apenas duas raízes possíveis para este polinômio. Você já encontrou os dois, então tudo que você precisa fazer é listá-los:
x = 0, x = 4
Encontre raízes por fatoração: Exemplo 2
Aqui está mais um exemplo de como encontrar raízes por fatoração, usando um pouco de álgebra sofisticada ao longo do caminho. Considere o polinômiox4 – 16. Uma rápida olhada em seus expoentes mostra que deve haver quatro raízes para este polinômio; agora é hora de encontrá-los.
Você notou que este polinômio pode ser reescrito como a diferença de quadrados? Então, em vez dex4 - 16, você tem:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Que, usando a fórmula para a diferença de quadrados, fatora o seguinte:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
O primeiro termo é, novamente, uma diferença de quadrados. Portanto, embora você não possa fatorar mais o termo à direita, você pode fatorar o termo à esquerda um passo a mais:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Agora é hora de encontrar os zeros. Rapidamente fica claro que sex= 2, o primeiro fator será igual a zero e, portanto, a expressão inteira será igual a zero.
Da mesma forma, sex= −2, o segundo fator será igual a zero e, portanto, toda a expressão será igual.
Entãox= 2 ex= −2 são ambos zeros, ou raízes, deste polinômio.
Mas e quanto ao último período? Por ter um expoente "2", deve ter duas raízes. Mas você não pode fatorar essa expressão usando os números reais aos quais está acostumado. Você teria que usar um conceito matemático muito avançado chamado números imaginários ou, se preferir, números complexos. Isso está muito além do escopo de sua prática matemática atual, então por enquanto é suficiente observar que você tem duas raízes reais (2 e -2) e duas raízes imaginárias que você deixará indefinidas.
Encontrar raízes por meio de gráficos
Você também pode encontrar, ou pelo menos estimar, raízes por meio de gráficos. Cada raiz representa um ponto onde o gráfico da função cruza oxeixo. Então, se você representar graficamente a linha e depois observar oxcoordenadas onde a linha cruza oxeixo, você pode inserir a estimativaxvalores desses pontos em sua equação e verifique se você os acertou.
Considere o primeiro exemplo que você trabalhou, para o polinômiox2 – 4x. Se você desenhá-lo com cuidado, verá que a linha cruza oxeixo emx= 0 ex= 4. Se você inserir cada um desses valores na equação original, obterá:
0^2 - 4(0) = 0
tãox= 0 era um zero ou raiz válida para este polinômio.
4^2 - 4(4) = 0
tãox= 4 também é um zero ou raiz válida para este polinômio. E como o polinômio era de grau 2, você sabe que pode parar de procurar depois de encontrar duas raízes.