Quando você começa com três equações e três incógnitas (variáveis), pode pensar que tem informações suficientes para resolver todas as variáveis. No entanto, ao resolver um sistema de equações lineares usando o método de eliminação, você pode descobrir que o sistema não está suficientemente determinado para encontrar uma resposta única e, em vez disso, um número infinito de soluções é possível. Isso ocorre quando as informações em uma das equações do sistema são redundantes para as informações contidas nas outras equações.
Um exemplo 2x2
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Este sistema de equações é claramente redundante. Você pode criar uma equação a partir da outra apenas multiplicando por uma constante. Em outras palavras, eles transmitem as mesmas informações. Apesar de haver duas equações para as duas incógnitas, x e y, a solução deste sistema não pode ser reduzida a um valor para xe um valor para y. (x, y) = (1,1) e (5 / 3,0) o resolvem, assim como muitas outras soluções. Esse é o tipo de “problema”, essa insuficiência de informação, que leva a um número infinito de soluções também em sistemas maiores de equações.
Um exemplo 3x3
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Os sublinhados são usados apenas para manter o espaçamento.] Pelo método de eliminação, elimine x da segunda linha subtraindo a segunda linha da primeira, dando x + y + z = 10 _2y= 10 x_ +z = 5 Elimine x da terceira linha subtraindo a terceira linha da primeira. x + y + z = 10 _2y=10 y= 5 Claramente, as duas últimas equações são equivalentes. y é igual a 5 e a primeira equação pode ser simplificada eliminando y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 ou x + z = 5 y = 5 Observe que o método de eliminação não produzirá uma boa forma triangular aqui, como acontece quando há uma solução única. Em vez disso, a última equação (se não mais) será absorvida pelas outras equações. O sistema agora é de três incógnitas e apenas duas equações. O sistema é denominado “subdeterminado” porque não existem equações suficientes para determinar o valor de todas as variáveis. Um número infinito de soluções são possíveis.
Como escrever a solução infinita
A solução infinita para o sistema acima pode ser escrita em termos de uma variável. Uma maneira de escrever é (x, y, z) = (x, 5,5-x). Como x pode assumir um número infinito de valores, a solução pode assumir um número infinito de valores.