Os três métodos mais comumente usados para resolver sistemas de equações são substituição, eliminação e matrizes aumentadas. Substituição e eliminação são métodos simples que podem resolver efetivamente a maioria dos sistemas de duas equações em algumas etapas diretas. O método de matrizes aumentadas requer mais etapas, mas sua aplicação se estende a uma variedade maior de sistemas.
Substituição
Substituição é um método de resolver sistemas de equações removendo todas, exceto uma das variáveis em uma das equações e, em seguida, resolvendo essa equação. Isso é obtido isolando a outra variável em uma equação e, em seguida, substituindo os valores dessas variáveis em outra equação. Por exemplo, para resolver o sistema de equações x + y = 4, 2x - 3y = 3, isole a variável x no primeiro equação para obter x = 4 - y, em seguida, substitua este valor de y na segunda equação para obter 2 (4 - y) - 3y = 3. Esta equação simplifica para -5y = -5 ou y = 1. Insira este valor na segunda equação para encontrar o valor de x: x + 1 = 4 ou x = 3.
Eliminação
A eliminação é outra maneira de resolver sistemas de equações reescrevendo uma das equações em termos de apenas uma variável. O método de eliminação consegue isso adicionando ou subtraindo equações umas das outras para cancelar uma das variáveis. Por exemplo, adicionar as equações x + 2y = 3 e 2x - 2y = 3 resulta em uma nova equação, 3x = 6 (observe que os termos y se cancelaram). O sistema é então resolvido usando os mesmos métodos da substituição. Se for impossível cancelar as variáveis nas equações, será necessário multiplicar a equação inteira por um fator para fazer os coeficientes coincidirem.
Matriz Aumentada
As matrizes aumentadas também podem ser usadas para resolver sistemas de equações. A matriz aumentada consiste em linhas para cada equação, colunas para cada variável e uma coluna aumentada que contém o termo constante do outro lado da equação. Por exemplo, a matriz aumentada para o sistema de equações 2x + y = 4, 2x - y = 0 é [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].
Determinando a Solução
A próxima etapa envolve o uso de operações elementares de linha, como multiplicar ou dividir uma linha por uma constante diferente de zero e adicionar ou subtrair linhas. O objetivo dessas operações é converter a matriz para a forma escalonada de linha, em que a primeira entrada diferente de zero em cada linha é um 1, entradas acima e abaixo desta entrada estão todos zeros, e a primeira entrada diferente de zero para cada linha está sempre à direita de todas as entradas nas linhas acima dela. A forma escalonada de linha para a matriz acima é [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. O valor da primeira variável é dado pela primeira linha (1x + 0y = 1 ou x = 1). O valor da segunda variável é dado pela segunda linha (0x + 1y = 2 ou y = 2).
Formulários
Substituição e eliminação são métodos mais simples de resolver equações e são usados com muito mais frequência do que matrizes aumentadas em álgebra básica. O método de substituição é especialmente útil quando uma das variáveis já está isolada em uma das equações. O método de eliminação é útil quando o coeficiente de uma das variáveis é o mesmo (ou seu equivalente negativo) em todas as equações. A principal vantagem das matrizes aumentadas é que podem ser usadas para resolver sistemas de três ou mais equações em situações onde a substituição e a eliminação são inviáveis ou impossíveis.