Como resolver equações cúbicas

Resolver funções polinomiais é uma habilidade chave para qualquer um estudando matemática ou física, mas entender o processo - especialmente quando se trata de funções de ordem superior - pode ser bastante desafiador. Uma função cúbica é um dos tipos mais desafiadores de equação polinomial que você pode ter que resolver manualmente. Embora possa não ser tão simples quanto resolver uma equação quadrática, existem alguns métodos você pode usar para encontrar a solução para uma equação cúbica sem recorrer a páginas e páginas de detalhes álgebra.

Uma função cúbica é um polinômio de terceiro grau. Uma função polinomial geral tem a forma:

Aqui, x é a variável, n é simplesmente qualquer número (e o grau do polinômio), k é uma constante e as outras letras são coeficientes constantes para cada potência de x. Portanto, uma função cúbica tem n = 3, e é simplesmente:

Onde, neste caso,

Cada solução para x é chamado de “raiz” da equação. As equações cúbicas têm uma raiz real ou três, embora possam ser repetidas, mas sempre há pelo menos uma solução.

O tipo de equação é definido pela maior potência, portanto, no exemplo acima, não seria uma equação cúbica se a = 0, porque o termo de maior poder seria bx² e seria uma equação quadrática. Isso significa que o seguinte são todas as equações cúbicas:

A maneira mais fácil de resolver uma equação cúbica envolve um pouco de adivinhação e um tipo de processo algorítmico denominado divisão sintética. O início, porém, é basicamente o mesmo que o método de tentativa e erro para soluções de equações cúbicas. Tente descobrir o que é uma das raízes adivinhando. Se você tiver uma equação em que o primeiro coeficiente, uma, é igual a 1, então é um pouco mais fácil adivinhar uma das raízes, porque elas são sempre fatores do termo constante que é representado acima por d.

Então, olhando para a seguinte equação, por exemplo:

Você tem que adivinhar um dos valores para x, mas desde uma = 1 neste caso você sabe que qualquer que seja o valor, tem que ser um fator de 24. O primeiro desses fatores é 1, mas isso deixaria:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Que não é zero, e -1 deixaria:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Que novamente não é zero. Próximo, x = 2 daria:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Outra falha. Tentando x = −2 dá:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Isso significa x = −2 é a raiz da equação cúbica. Isso mostra as vantagens e desvantagens do método de tentativa e erro: Você pode obter a resposta sem muito pensamento, mas é demorado (especialmente se você tiver que ir para fatores superiores antes de encontrar uma raiz). Felizmente, quando você encontra uma raiz, pode resolver o resto da equação facilmente.

A chave é incorporar o teorema do fator. Isso afirma que se x = s é uma solução, então (x – s) é um fator que pode ser extraído da equação. Para esta situação, s = −2, e assim (x + 2) é um fator que podemos extrair para sair:

Os termos do segundo grupo de colchetes têm a forma de uma equação quadrática, portanto, se você encontrar os valores apropriados para uma e b, a equação pode ser resolvida.

Isso pode ser feito usando divisão sintética. Primeiro, escreva os coeficientes da equação original na linha superior de uma tabela, com uma linha divisória e, em seguida, a raiz conhecida à direita:

Deixe uma linha sobressalente e, em seguida, adicione uma linha horizontal abaixo dela. Primeiro, leve o primeiro número (1 neste caso) até a linha abaixo de sua linha horizontal

Agora multiplique o número que você acabou de derrubar pela raiz conhecida. Neste caso, 1 × −2 = −2, e isso é escrito abaixo do próximo número na lista, da seguinte maneira:

Em seguida, adicione os números na segunda coluna e coloque o resultado abaixo da linha horizontal:

Agora repita o processo pelo qual você acabou de passar com o novo número abaixo da linha horizontal: Multiplique pelo raiz, coloque a resposta no espaço vazio na próxima coluna e, em seguida, adicione a coluna para obter um novo número no linha inferior. Isso deixa:

E, em seguida, repita o processo uma última vez.

O fato de a última resposta ser zero indica que você tem uma raiz válida, então, se ela não for zero, você cometeu um erro em algum lugar.

Agora, a linha inferior informa os fatores dos três termos no segundo conjunto de colchetes, para que você possa escrever:

E entao:

Este é o estágio mais importante da solução e você pode terminar a partir deste ponto de várias maneiras.

Depois de remover um fator, você pode encontrar uma solução usando a fatoração. Da etapa acima, esse é basicamente o mesmo problema que fatorar uma equação quadrática, o que pode ser desafiador em alguns casos. No entanto, para a expressão:

Se você se lembrar que os dois números colocados entre parênteses precisam ser somados para dar o segundo coeficiente (7) e multiplicar para dar o terceiro (12), é bastante fácil ver que neste caso:

Você pode multiplicar isso para verificar, se quiser. Não se sinta desencorajado se você não puder ver a fatoração imediatamente; requer um pouco de prática. Isso deixa a equação original como:

Que você pode ver imediatamente, tem soluções em x = −2, 3 e 4 (todos os quais são fatores de 24, a constante original). Em teoria, também pode ser possível ver toda a fatoração a partir da versão original da equação, mas isso é muito mais desafiador, por isso é melhor encontrar uma solução de tentativa e erro e usar a abordagem acima antes de tentar localizar um fatoração.

Se você está lutando para ver a fatoração, pode usar a fórmula da equação quadrática:

Para encontrar as soluções restantes.

Embora seja muito maior e menos simples de lidar, existe um solucionador de equação cúbica simples na forma da fórmula cúbica. É como a fórmula da equação quadrática em que você apenas insere seus valores de uma, b, c e d para obter uma solução, mas é muito mais longo.

Afirma que:

Onde

e

Usar esta fórmula é demorado, mas se você não quiser usar o método de tentativa e erro para soluções de equação cúbica e, em seguida, a fórmula quadrática, isso funciona quando você analisa tudo.