A melhor maneira de fatorar polinômios com frações começa com a redução das frações para termos mais simples. Polinômios representam expressões algébricas com dois ou mais termos, mais especificamente, a soma de vários termos que possuem diferentes expressões da mesma variável. Estratégias que auxiliam na simplificação de polinômios envolvem fatorar o maior fator comum, seguido pelo agrupamento da equação em seus termos mais baixos. O mesmo é verdadeiro mesmo ao resolver polinômios com frações.
Polinômios com frações definidas
Você tem três maneiras de visualizar a frase polinômios com frações. A primeira interpretação trata de polinômios com frações para coeficientes. Em álgebra, o coeficiente é definido como a quantidade ou constante numérica encontrada antes de uma variável. Em outras palavras, os coeficientes para 7_a_, b e (1/3)c são 7, 1 e (1/3), respectivamente. Dois exemplos, portanto, de polinômios com coeficientes de fração seriam:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {e} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
A segunda interpretação de "polinômios com frações" refere-se a polinômios existentes em fração ou proporção forma com um numerador e um denominador, onde o polinômio do numerador é dividido pelo denominador polinomial. Por exemplo, esta segunda interpretação é ilustrada por:
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
A terceira interpretação, por sua vez, está relacionada à decomposição da fração parcial, também conhecida como expansão da fração parcial. Às vezes, as frações polinomiais são complexas de modo que quando são "decompostas" ou "quebradas" em termos mais simples, eles são apresentados como somas, diferenças, produtos ou quocientes de polinômios frações. Para ilustrar, a fração polinomial complexa de:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
é avaliada por meio da decomposição da fração parcial, que, aliás, envolve fatoração de polinômios, para ser, em sua forma mais simples:
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
Noções básicas de fatoração - propriedade distributiva e método FOIL
Fatores representam dois números que, quando multiplicados juntos, equivalem a um terceiro número. Em equações algébricas, a fatoração determina quais duas quantidades foram multiplicadas juntas para chegar a um determinado polinômio. A propriedade distributiva é fortemente seguida ao multiplicar polinômios. A propriedade distributiva essencialmente permite que se multiplique uma soma multiplicando cada número individualmente antes de adicionar os produtos. Observe, por exemplo, como a propriedade distributiva é aplicada no exemplo de:
7 (10x + 5) \ text {para chegar ao binômio de} 70x + 35.
Mas, se dois binômios são multiplicados juntos, uma versão estendida da propriedade distributiva é utilizada por meio do método FOIL. FOIL representa a sigla para Primeiro, Externo, Interno e Último termos sendo multiplicados. Portanto, a fatoração de polinômios envolve a execução do método FOIL de trás para frente. Pegue os dois exemplos mencionados acima com os polinômios contendo coeficientes de fração. Executar o método FOIL de trás para frente em cada um deles resulta nos fatores de
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
para o primeiro polinômio e os fatores de
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
para o segundo polinômio.
Exemplo:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
Exemplo:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} \ bigg)
Etapas a serem executadas ao fatorar frações polinomiais
Visto de cima, as frações polinomiais envolvem um polinômio no numerador dividido por um polinômio no denominador. A avaliação de frações polinomiais, portanto, necessita fatorar o polinômio do numerador primeiro, seguido pela fatoração do polinômio do denominador. Ajuda a encontrar o maior fator comum, ou GCF, entre o numerador e o denominador. Uma vez que o GCF do numerador e do denominador é encontrado, ele se cancela, reduzindo finalmente a equação inteira em termos simplificados. Considere o exemplo de fração polinomial original acima de
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Fatorar os polinômios do numerador e do denominador para encontrar os resultados do GCF em:
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
com o GCF sendo (x + 2).
O GCF no numerador e no denominador se cancelam para fornecer a resposta final nos termos mais baixos de (x + 5) ÷ (x + 9).
Exemplo:
\ begin {alinhado} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ cancel {(x + 2)} (x + 5)} {\ cancel {( x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ end {alinhado}
Avaliação de equações por meio da decomposição parcial da fração
A decomposição da fração parcial, que envolve fatoração, é uma maneira de reescrever equações de fração polinomiais complexas em uma forma mais simples. Revisitando o exemplo acima de
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
Simplifique o denominador
Simplifique o denominador para obter:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)}
Reorganizar o numerador
Em seguida, reorganize o numerador de modo que comece a ter os GCFs presentes no denominador, para obter:
\ begin {alinhados} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)} & = \ frac {3x + 5x - 3 + 10} {(x + 2) (x - 1)} \ \ & = \ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} \\ \ end {alinhado}
Para o adendo esquerdo, o GCF é (x - 1), enquanto para o adendo certo, o GCF é (x + 2), que se cancelam no numerador e denominador, conforme visto em:
\ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} = \ frac {3 \ cancel {(x - 1)}} {(x + 2) \ cancel {(x - 1)}} + \ frac {5 \ cancel {(x + 2)}} {\ cancel {(x + 2)} (x - 1) }
Assim, quando os GCFs cancelam, a resposta simplificada final é:
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x - 1}
como a solução da decomposição da fração parcial.