Qualquer pessoa que já jogou uma partida de sinuca está familiarizada com a lei da conservação do momento, quer percebam ou não.
A lei da conservação do momento é fundamental para compreender e prever o que acontece quando os objetos interagem ou colidem. Esta lei prevê os movimentos das bolas de bilhar e é o que decide se a bola oito vai para a caçapa do canto ou não.
O que é momentum?
Momentum é definido como o produto da massa e velocidade de um objeto. Na forma de equação, isso geralmente é escrito comop = mv.
É uma quantidade vetorial, o que significa que tem uma direção associada a ela. A direção do vetor de momentum de um objeto é a mesma direção de seu vetor de velocidade.
O momento de um sistema isolado é a soma dos momentos de cada objeto individual nesse sistema. Um sistema isolado é um sistema de objetos em interação que não estão interagindo de forma alguma com nada mais. Em outras palavras, não há força externa líquida agindo no sistema.
Estudar o momento total em um sistema isolado é importante porque permite fazer previsões do que acontecerá aos objetos no sistema durante as colisões e interações.
O que são leis de conservação?
Antes de embarcar no entendimento da lei da conservação do momento, é importante entender o que se entende por "quantidade conservada".
Conservar algo significa prevenir o desperdício ou perda de alguma forma. Em física, uma quantidade é considerada conservada se permanecer constante. Você deve ter ouvido a expressão no que se refere à conservação de energia, que é a noção de que a energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas muda de forma. Portanto, a quantidade total permanece constante.
Quando falamos sobre a conservação do momentum, estamos falando sobre a quantidade total de momentum que permanece constante. Este momento pode ser transferido de um objeto para outro dentro de um sistema isolado e ainda ser considerado conservado se o momento total nesse sistema não mudar.
Segunda Lei do Movimento de Newton e Lei da Conservação do Momentum
A lei da conservação do momento pode ser derivada da segunda lei do movimento de Newton. Lembre-se de que esta lei relaciona a força líquida, a massa e a aceleração de um objeto comoFinternet = ma.
O truque aqui é pensar que essa força resultante age em um sistema como um todo. A lei da conservação do momento se aplica quando a força resultante no sistema é 0. Isso significa que, para cada objeto no sistema, as únicas forças que podem ser exercidas sobre ele devem vir de outros objetos dentro do sistema, ou então ser canceladas de alguma forma.
As forças externas podem ser atrito, gravidade ou resistência do ar. Estes precisam não estar agindo, ou devem ser neutralizados, a fim de tornar a força resultante no sistema 0.
Você pode começar a derivação com a declaraçãoFinternet = ma = 0.
Omneste caso, é a massa de todo o sistema. A aceleração em questão é a aceleração líquida do sistema, que se refere à aceleração do centro de massa do sistema (o centro de massa é a localização média do sistema total massa.)
Para que a força resultante seja 0, a aceleração também deve ser 0. Visto que a aceleração é a mudança na velocidade ao longo do tempo, isso implica que a velocidade não deve estar mudando. Em outras palavras, a velocidade é constante. Portanto, obtemos a declaração de quemvcm= constante.
Ondevcmé a velocidade do centro de massa, dada pela fórmula:
v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}
Portanto, agora a declaração se reduz a:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ text {constante}
Esta é a equação que descreve a conservação do momento. Cada termo é o momento de um dos objetos no sistema, e a soma de todos os momentos deve ser constante. Outra maneira de expressar isso é afirmando:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...
Onde o subscritoeurefere-se aos valores iniciais efpara valores finais, geralmente ocorrendo antes e depois de algum tipo de interação, como uma colisão entre objetos em um sistema.
Colisões elásticas e inelásticas
A razão pela qual a lei da conservação do momento é importante é que ela pode permitir que você resolva um velocidade final desconhecida ou semelhante para objetos em um sistema isolado que podem colidir com cada outro.
Existem duas maneiras principais pelas quais essa colisão pode ocorrer: elasticamente ou inelasticamente.
Uma colisão perfeitamente elástica é aquela em que objetos em colisão ricocheteiam uns nos outros. Este tipo de colisão é caracterizado pela conservação da energia cinética. A energia cinética de um objeto é dada pela fórmula:
KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Se a energia cinética for conservada, a soma das energias cinéticas de todos os objetos no sistema deve permanecer constante antes e depois de quaisquer colisões. Usar a conservação da energia cinética junto com a conservação do momento pode permitir que você resolva mais de uma velocidade final ou inicial em um sistema de colisão.
Uma colisão perfeitamente inelástica é aquela em que, quando dois objetos colidem, aderem um ao outro e depois se movem como uma massa singular. Isso também pode simplificar um problema, porque você só precisa determinar uma velocidade final em vez de duas.
Enquanto o momento é conservado em ambos os tipos de colisões, a energia cinética só é conservada em uma colisão elástica. A maioria das colisões da vida real não é nem perfeitamente elástica nem perfeitamente inelástica, mas fica em algum ponto intermediário.
Conservação do Momento Angular
O que foi descrito na seção anterior é a conservação do momento linear. Existe outro tipo de momento que se aplica ao movimento rotacional, que é chamado de momento angular.
Assim como com o momento linear, o momento angular também é conservado. O momento angular depende da massa de um objeto, bem como de quão longe essa massa está de um eixo de rotação.
Quando um patinador artístico gira, você o vê girar mais rápido ao aproximar os braços do corpo. Isso ocorre porque seu momento angular só é conservado se sua velocidade de rotação aumentar na proporção com que aproximam seus braços de seu centro.
Exemplos de problemas de conservação de momentum
Exemplo 1:Duas bolas de bilhar de massa igual rolam uma em direção à outra. Um está viajando com uma velocidade inicial de 2 m / s e o outro está viajando com uma velocidade de 4 m / s. Se sua colisão é perfeitamente elástica, qual é a velocidade final de cada bola?
Solução 1:É importante, ao resolver este problema, escolher um sistema de coordenadas. Como tudo está acontecendo em linha reta, você pode decidir que o movimento para a direita é positivo e o movimento para a esquerda é negativo. Suponha que a primeira bola esteja se movendo para a direita a 2m / s. A velocidade da segunda bola é então -4m / s.
Escreva uma expressão para o momento total do sistema antes da colisão, bem como a energia cinética total do sistema antes da colisão:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2
Insira valores para obter uma expressão para cada um:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2m - 4m = -2m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} m (2) ^ 2 + \ frac {1} {2} m (-4) ^ 2 = 10m
Observe que, uma vez que você não recebeu valores para as massas, eles permanecem desconhecidos, embora ambas as massas fossem as mesmas, o que permitiu alguma simplificação.
Após a colisão, as expressões para momentum e energia cinética são:
mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2
Ao definir os valores iniciais iguais aos valores finais de cada um, você pode cancelar as massas. Você fica então com um sistema de duas equações e duas quantidades desconhecidas:
mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ implica v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10m \ implica v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20
Resolver o sistema algebricamente fornece as seguintes soluções:
v_ {if} = -4 \ text {m / s} v_ {2f} = 2 \ text {m / s}
Você notará que, como as duas bolas tinham a mesma massa, elas essencialmente trocaram velocidades.
Exemplo 2:Um carro de 1.200 kg viajando para o leste a 20 milhas por hora colide de frente com um caminhão de 3.000 kg viajando para o oeste a 15 milhas por hora. Os dois veículos ficam juntos quando colidem. Com que velocidade final eles se movem?
Solução 2:Uma coisa a se notar sobre esse problema específico são as unidades. As unidades SI para momentum são kg⋅m / s. No entanto, você recebe massa em kg e velocidades em milhas por hora. Observe que, desde que todas as velocidades estejam em unidades consistentes, não há necessidade de conversão. Quando você resolver a velocidade final, sua resposta será em milhas por hora.
O momento inicial do sistema pode ser expresso como:
m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ vezes 20 - 3000 \ vezes 15 = -21.000 \ texto {kg} \ vezes \ texto {mph}
O momento final do sistema pode ser expresso como:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
A lei de conservação do momento diz que esses valores inicial e final devem ser iguais. Você pode resolver para a velocidade final definindo o momento inicial igual ao momento final, resolvendo para a velocidade final da seguinte forma:
4200v_f = -21.000 \ implica v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ text {mph}
Exemplo 3:Mostre que a energia cinética não foi conservada na questão anterior envolvendo a colisão inelástica entre o carro e o caminhão.
Solução 3:A energia cinética inicial desse sistema foi:
\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557.500 \ text {kg (mph)} ^ 2
A energia cinética final do sistema foi:
\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52.500 \ text {kg (mph)} ^ 2
Como a energia cinética total inicial e a energia cinética final total não são iguais, você pode concluir que a energia cinética não foi conservada.