Ao comparar modelos teóricos de como as coisas funcionam com aplicações do mundo real, os físicos geralmente aproximam a geometria de objetos usando objetos mais simples. Isso poderia ser o uso de cilindros finos para aproximar a forma de um avião ou uma linha fina e sem massa para aproximar a corda de um pêndulo.
A esfericidade oferece uma maneira de aproximar o quão próximos os objetos estão da esfera. Você pode, por exemplo, calcular a esfericidade como uma aproximação da forma da Terra que, na verdade, não é uma esfera perfeita.
Calculando Esfericidade
Ao encontrar a esfericidade para uma única partícula ou objeto, você pode definir a esfericidade como a proporção da superfície área de uma esfera que tem o mesmo volume que a partícula ou objeto para a área de superfície da partícula em si. Isso não deve ser confundido com o Teste de Esfericidade de Mauchly, uma técnica estatística para testar suposições dentro dos dados.
Colocado em termos matemáticos, a esfericidade dada porΨ("psi") é:
\ Psi = \ frac {\ pi ^ {1/3} (6V_p) ^ {2/3}} {A_p}
para o volume da partícula ou objetoVpe área de superfície da partícula ou objetoUMAp. Você pode ver por que esse é o caso por meio de algumas etapas matemáticas para derivar essa fórmula.
Derivando a Fórmula de Esfericidade
Primeiro, você encontra outra maneira de expressar a área da superfície de uma partícula.
- UMAs = 4πr2: Comece com a fórmula para a área de superfície de uma esfera em termos de seu raior.
- (4πr2 )3 : Cubra-o levando-o à potência de 3.
- 43π3r6: Distribua o expoente 3 por toda a fórmula.
- 4π(42π2r6): Fatore o4πcolocando-o do lado de fora usando parênteses.
- 4π x 32 (42π2r6 /32): Fatorar32.
- 36π (4πr3/3)2: Fatore o expoente de 2 dos parênteses para obter o volume de uma esfera.
- 36πVp2: Substitua o conteúdo entre parênteses pelo volume de uma esfera para uma partícula.
- UMAs = (36Vp2)1/3: Então, você pode obter a raiz cúbica desse resultado para que você volte à área da superfície.
- 361/3π1/3Vp2/3: Distribua o expoente de 1/3 por todo o conteúdo entre parênteses.
- π1/3(6Vp)2/3: Fatore oπ1/3 do resultado da etapa 9. Isso fornece um método para expressar a área da superfície.
Então, a partir deste resultado de uma forma de expressar a área de superfície, você pode reescrever a razão entre a área de superfície de uma partícula e o volume de uma partícula com
\ frac {A_s} {A_p} = \ frac {\ pi ^ {1/3} (6V_p) ^ {2/3}} {A_p}
que é definido comoΨ. Por ser definido como uma proporção, a esfericidade máxima que um objeto pode ter é um, que corresponde a uma esfera perfeita.
Você pode usar valores diferentes para alterar o volume de objetos diferentes para observar como a esfericidade é mais dependente de certas dimensões ou medidas em comparação com outras. Por exemplo, ao medir a esfericidade de partículas, alongar as partículas em uma direção tem muito mais probabilidade de aumentar a esfericidade do que alterar a circularidade de certas partes dela.
Volume da esfericidade do cilindro
Usando a equação para esfericidade, você pode determinar a esfericidade de um cilindro. Você deve primeiro descobrir o volume do cilindro. Em seguida, calcule o raio de uma esfera que teria esse volume. Encontre a área da superfície desta esfera com este raio e, a seguir, divida-a pela área da superfície do cilindro.
Se você tem um cilindro com diâmetro de 1 me altura de 3 m, pode calcular seu volume como o produto da área da base pela altura. Este seria
V = Ah = 2 \ pi r ^ 2 3 = 2,36 \ texto {m} ^ 3
Porque o volume de uma esfera éV = 4πr3/3, você pode calcular o raio deste volume como
r = \ bigg (\ frac {3V \ pi} {4} \ bigg) ^ {1/3}
Para uma esfera com este volume, teria um raio r =(2,36 m3 x (3/4π))1/3 = 0,83 m.
A área da superfície de uma esfera com este raio seriaA = 4πr2ou 4πr2ou 8,56 m3. O cilindro tem uma superfície de 11,00 m2 dado porA = 2 (πr2) + 2πr x h, que é a soma das áreas das bases circulares e da área da superfície curva do cilindro. Isso dá uma esfericidadeΨde 0,78 da divisão da área da superfície da esfera com a área da superfície do cilindro.
Você pode acelerar este processo passo a passo envolvendo o volume e a área de superfície de um cilindro ao lado do volume e da superfície são de uma esfera usando métodos computacionais que podem calcular essas variáveis um por um muito mais rapidamente do que um humano posso. Realizar simulações baseadas em computador usando esses cálculos é apenas uma aplicação da esfericidade.
Aplicações Geológicas da Esfericidade
Esfericidade originada na geologia. Como as partículas tendem a assumir formas irregulares com volumes difíceis de determinar, o geólogo Hakon Wadell criou uma definição mais aplicável que usa a proporção do diâmetro nominal da partícula, o diâmetro de uma esfera com o mesmo volume de um grão, para o diâmetro da esfera que abrangeria isto.
Com isso, ele criou o conceito de esfericidade que poderia ser usado juntamente com outras medidas, como a circularidade na avaliação das propriedades das partículas físicas.
Além de determinar o quão próximos os cálculos teóricos estão dos exemplos do mundo real, a esfericidade tem uma variedade de outros usos. Os geólogos determinam a esfericidade das partículas sedimentares para descobrir o quão perto estão das esferas. A partir daí, eles podem calcular outras quantidades, como as forças entre as partículas ou realizar simulações de partículas em diferentes ambientes.
Essas simulações baseadas em computador permitem que os geólogos projetem experimentos e estudem características da Terra, como o movimento e a disposição dos fluidos entre as rochas sedimentares.
Os geólogos podem usar a esfericidade para estudar a aerodinâmica das partículas vulcânicas. Varredura a laser tridimensional e tecnologias de microscópio eletrônico de varredura mediram diretamente a esfericidade das partículas vulcânicas. Os pesquisadores podem comparar esses resultados com outros métodos de medição da esfericidade, como a esfericidade de trabalho. Esta é a esfericidade de um tetradecaedro, um poliedro com 14 faces, a partir das razões de planicidade e alongamento das partículas vulcânicas.
Outros métodos de medição de esfericidade incluem aproximar a circularidade da projeção de uma partícula em uma superfície bidimensional. Essas diferentes medições podem fornecer aos pesquisadores métodos mais precisos de estudar as propriedades físicas dessas partículas quando liberadas de vulcões.
Esfericidade em outros campos
As aplicações para outros campos também são dignas de nota. Métodos baseados em computador, em particular, podem examinar outras características do material sedimentar, como porosidade, conectividade e redondeza juntamente com esfericidade para avaliar as propriedades físicas de objetos, como o grau de osteoporose em humanos ossos. Ele também permite que cientistas e engenheiros determinem o quão útil os biomateriais podem ser para implantes.
Cientistas que estudam nanopartículas podem medir o tamanho e a esfericidade dos nanocristais de silício ao descobrir como eles podem ser usados em materiais optoeletrônicos e emissores de luz baseados em silício. Posteriormente, eles podem ser usados em várias tecnologias, como bioimagem e distribuição de medicamentos.