Resolver os mistérios do eletromagnetismo tem sido uma das maiores conquistas da física até hoje, e as lições aprendidas estão totalmente encapsuladas nas equações de Maxwell.
James Clerk Maxwell dá seu nome a essas quatro equações elegantes, mas elas são o culminar de décadas de trabalho de muitos físicos, incluindo Michael Faraday, Andre-Marie Ampere e Carl Friedrich Gauss - que dão seus nomes a três das quatro equações - e muitos outras. Embora o próprio Maxwell tenha adicionado um termo a uma das quatro equações, ele teve a visão e a compreensão para coletar o melhor do trabalho que foi feito sobre o assunto e apresentá-los de uma forma ainda usada por físicos hoje.
Por muitos, muitos anos, os físicos acreditaram que a eletricidade e o magnetismo eram forças separadas e fenômenos distintos. Mas, por meio do trabalho experimental de pessoas como Faraday, ficou cada vez mais claro que eles eram, na verdade, os dois lados do mesmo fenômeno, e as equações de Maxwell apresentam esta imagem unificada que ainda é tão válida hoje quanto era no século 19 século. Se você vai estudar física em níveis superiores, é absolutamente necessário conhecer as equações de Maxwell e como usá-las.
Equações de Maxwell
As equações de Maxwell são as seguintes, tanto na forma diferencial quanto na forma integral. (Observe que embora o conhecimento de equações diferenciais seja útil aqui, um entendimento conceitual é possível mesmo sem ele.)
Lei de Gauss para Eletricidade
Forma diferencial:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Forma integral:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Nenhuma lei monopolo / Lei de Gauss para o magnetismo
Forma diferencial:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Forma integral:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Lei da Indução de Faraday
Forma diferencial:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Forma integral:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Lei de Ampère-Maxwell / Lei de Ampère
Forma diferencial:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Forma integral:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Símbolos usados nas equações de Maxwell
As equações de Maxwell usam uma grande seleção de símbolos e é importante que você entenda o que eles significam se quiser aprender a aplicá-los. Então, aqui está um resumo dos significados dos símbolos usados:
B= campo magnético
E= campo elétrico
ρ= densidade de carga elétrica
ε0= permissividade do espaço livre = 8,854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 UMA2
q= carga elétrica total (soma líquida de cargas positivas e negativas)
𝜙B = fluxo magnético
J= densidade atual
eu= corrente elétrica
c= velocidade da luz = 2,998 × 108 em
μ0 = permeabilidade do espaço livre = 4π × 10−7 N / D2
Além disso, é importante saber que ∇ é o operador del, um ponto entre duas quantidades (X ∙ Y) mostra um produto escalar, um símbolo de multiplicação em negrito entre duas quantidades é um produto vetorial (X × Y), que o operador del com um ponto é chamado de "divergência" (por exemplo, ∇ ∙ X= divergência deX= divX) e um operador del com um produto escalar é chamado de curl (por exemplo, ∇× Y= ondulação deY= curlY). finalmente, oUMAem dUMAsignifica a área da superfície fechada que você está calculando (às vezes escrita como dS), e assem dsé uma parte muito pequena do limite da superfície aberta que você está calculando (embora isso às vezes seja deu, referindo-se a um componente de linha infinitesimalmente pequeno).
Derivação das Equações
A primeira equação das equações de Maxwell é a lei de Gauss, e afirma que o fluxo elétrico líquido através de um superfície fechada é igual à carga total contida dentro da forma dividida pela permissividade de espaço. Esta lei pode ser derivada da lei de Coulomb, depois de dar o passo importante de expressar a lei de Coulomb em termos de um campo elétrico e o efeito que teria em uma carga de teste.
A segunda das equações de Maxwell é essencialmente equivalente à afirmação de que "não há monopólos magnéticos." Afirma que o fluxo magnético líquido através de uma superfície fechada será sempre 0, porque os campos magnéticos são sempre o resultado de um dipolo. A lei pode ser derivada da lei de Biot-Savart, que descreve o campo magnético produzido por um elemento de corrente.
A terceira equação - lei da indução de Faraday - descreve como um campo magnético variável produz uma voltagem em um loop de fio ou condutor. Foi originalmente derivado de um experimento. No entanto, dado o resultado de que uma mudança no fluxo magnético induz uma força eletromotriz (EMF ou voltagem) e, portanto, uma corrente elétrica em um loop de fio, e o fato de que EMF é definido como a linha integral do campo elétrico ao redor do circuito, a lei é fácil de colocar juntos.
A quarta e última equação, a lei de Ampère (ou a lei de Ampère-Maxwell para dar-lhe crédito por seu contribuição) descreve como um campo magnético é gerado por uma carga em movimento ou uma mudança elétrica campo. A lei é o resultado de um experimento (e então - como todas as equações de Maxwell - não foi realmente "derivada" no sentido tradicional), mas usandoTeorema de Stokesé um passo importante para colocar o resultado básico na forma usada hoje.
Exemplos de Equações de Maxwell: Lei de Gauss
Para ser franco, especialmente se você não estiver exatamente em seu cálculo vetorial, as equações de Maxwell parecem bastante assustadoras, apesar de serem relativamente compactas. A melhor maneira de realmente entendê-los é passar por alguns exemplos de como usá-los na prática, e a lei de Gauss é o melhor lugar para começar. A lei de Gauss é essencialmente uma equação mais fundamental que faz o trabalho da lei de Coulomb, e é muito fácil derivar a lei de Coulomb a partir dela, considerando o campo elétrico produzido por um ponto cobrar.
Ligando para a cobrançaq, o ponto chave para aplicar a lei de Gauss é escolher a "superfície" certa para examinar o fluxo elétrico. Neste caso, uma esfera funciona bem, que tem área de superfícieUMA = 4πr2, porque você pode centralizar a esfera na carga pontual. Este é um grande benefício para resolver problemas como este, porque então você não precisa integrar um campo variável em toda a superfície; o campo será simétrico em torno da carga pontual e, portanto, será constante em toda a superfície da esfera. Portanto, a forma integral:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Pode ser expresso como:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Observe que oEpois o campo elétrico foi substituído por uma magnitude simples, porque o campo de uma carga pontual simplesmente se espalhará igualmente em todas as direções a partir da fonte. Agora, dividindo pela área de superfície da esfera dá:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Uma vez que a força está relacionada ao campo elétrico porE = F/q, Ondeqé uma carga de teste,F = qE, e entao:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Onde os subscritos foram adicionados para diferenciar as duas cobranças. Esta é a lei de Coulomb declarada na forma padrão, demonstrada ser uma simples consequência da lei de Gauss.
Exemplos de equações de Maxwell: Lei de Faraday
A lei de Faraday permite calcular a força eletromotriz em uma alça de arame resultante de uma mudança no campo magnético. Um exemplo simples é um laço de fio, com raior= 20 cm, em um campo magnético que aumenta em magnitude a partir deBeu = 1 T aBf = 10 T no espaço de ∆t= 5 s - qual é o CEM induzido neste caso? A forma integral da lei envolve o fluxo:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
que é definido como:
ϕ = BA \ cos (θ)
A parte principal do problema aqui é encontrar a taxa de variação do fluxo, mas como o problema é bastante direto, você pode substituir a derivada parcial por uma simples “mudança” em cada quantidade. E a integral realmente significa apenas a força eletromotriz, então você pode reescrever a lei da indução de Faraday como:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Se assumirmos que o laço do fio tem seu normal alinhado com o campo magnético,θ= 0 ° e então cos (θ) = 1. Isso deixa:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
O problema pode então ser resolvido encontrando a diferença entre o campo magnético inicial e final e a área do loop, como segue:
\ begin {alinhados} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ end {alinhado}
Esta é apenas uma pequena tensão, mas a lei de Faraday é aplicada da mesma maneira independentemente.
Exemplos de equações de Maxwell: Lei de Ampère-Maxwell
A lei de Ampère-Maxwell é a última das equações de Maxwell que você precisará aplicar regularmente. A equação reverte para a lei de Ampère na ausência de um campo elétrico variável, então este é o exemplo mais fácil de considerar. Você pode usá-lo para derivar a equação de um campo magnético resultante de um fio reto transportando uma correnteeu, e este exemplo básico é suficiente para mostrar como a equação é usada. A lei completa é:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Mas sem mudar o campo elétrico, ele se reduz a:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Agora, como acontece com a lei de Gauss, se você escolher um círculo para a superfície, centrado no laço do fio, a intuição sugere que o campo magnético resultante será simétrica e, portanto, você pode substituir a integral por um produto simples da circunferência do loop e da intensidade do campo magnético, deixando:
B × 2πr = μ_0 I
Dividindo por 2πrdá:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Qual é a expressão aceita para o campo magnético à distânciarresultante de um fio reto que transporta uma corrente.
Ondas eletromagnéticas
Quando Maxwell montou seu conjunto de equações, ele começou a encontrar soluções para elas para ajudar a explicar vários fenômenos no mundo real, e o insight que deu à luz é um dos resultados mais importantes que ele obtido.
Porque um campo elétrico variável gera um campo magnético (pela lei de Ampère) e um campo magnético variável gera um campo elétrico (pela lei de Faraday), Maxwell concluiu que uma onda eletromagnética autopropagada pode ser possível. Ele usou suas equações para encontrar a equação de onda que descreveria tal onda e determinou que ela viajaria à velocidade da luz. Foi uma espécie de momento “eureca”; ele percebeu que a luz é uma forma de radiação eletromagnética, funcionando exatamente como o campo que ele imaginou!
Uma onda eletromagnética consiste em uma onda de campo elétrico e uma onda de campo magnético oscilando para frente e para trás, alinhadas em ângulos retos entre si. A oscilação da parte elétrica da onda gera o campo magnético, e a oscilação dessa parte, por sua vez, produz um campo elétrico novamente, continuamente enquanto viaja pelo espaço.
Como qualquer outra onda, uma onda eletromagnética tem uma frequência e um comprimento de onda, e o produto destes é sempre igual ac, A velocidade da luz. As ondas eletromagnéticas estão ao nosso redor e, assim como a luz visível, outros comprimentos de onda são comumente chamados de ondas de rádio, microondas, infravermelho, ultravioleta, raios X e raios gama. Todas essas formas de radiação eletromagnética têm a mesma forma básica, conforme explicado pelas equações de Maxwell, mas suas energias variam com a frequência (ou seja, uma frequência mais alta significa uma energia mais alta).
Então, para um físico, foi Maxwell quem disse: "Haja luz!"