Para construir um vetor perpendicular a outro determinado vetor, você pode usar técnicas baseadas no produto escalar e no produto cruzado de vetores. O produto escalar dos vetores A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) é igual à soma dos produtos dos componentes correspondentes: A ∙ B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Se dois vetores são perpendiculares, seu produto escalar é igual a zero. O produto cruzado de dois vetores é definido como A × B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2 * b1). O produto cruzado de dois vetores não paralelos é um vetor perpendicular a ambos.
Escreva um vetor hipotético desconhecido V = (v1, v2).
Calcule o produto escalar desse vetor e o vetor fornecido. Se você receber U = (-3,10), então o produto escalar é V ∙ U = -3 v1 + 10 v2.
Defina o produto escalar igual a 0 e resolva para um componente desconhecido em termos do outro: v2 = (3/10) v1.
Escolha qualquer valor para v1. Por exemplo, seja v1 = 1.
Resolva para v2: v2 = 0,3. O vetor V = (1,0.3) é perpendicular a U = (-3,10). Se você escolher v1 = -1, obterá o vetor V ’= (-1, -0,3), que aponta na direção oposta da primeira solução. Essas são as únicas duas direções no plano bidimensional perpendicular ao vetor fornecido. Você pode dimensionar o novo vetor para a magnitude que desejar. Por exemplo, para torná-lo um vetor unitário com magnitude 1, você construiria W = V / (magnitude de v) = V / (sqrt (10) = (1 / sqrt (10), 0,3 / sqrt (10).
Escolha qualquer vetor arbitrário que não seja paralelo ao vetor fornecido. Se um vetor Y é paralelo a um vetor X, então Y = a * X para alguma constante diferente de zero a. Para simplificar, use um dos vetores de base unitária, como X = (1, 0, 0).
Calcule o produto vetorial de X e U, usando U = (10, 4, -1): W = X × U = (0, 1, 4).
Verifique se W é perpendicular a U. W ∙ U = 0 + 4 - 4 = 0. Usar Y = (0, 1, 0) ou Z = (0, 0, 1) daria diferentes vetores perpendiculares. Eles estariam todos no plano definido pela equação 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.