Como determinar um expoente desconhecido

Se você vir as expressões 3² e 5³, você pode anunciar com um floreio que isso significa "três ao quadrado" e "cinco ao cubo" e ser capaz de encontrar números equivalentes sem expoentes, os números representados pelos sobrescritos no canto superior direito acima. Esses números, neste caso, são 9 e 125.

Mas e se, em vez de, digamos, uma função exponencial simples, como y = x ³, em vez disso, você tem que resolver uma equação como y = 3^x. Aqui, x, a variável dependente, aparece como um expoente. Existe uma maneira de puxar essa variável de sua posição para lidar mais facilmente com ela matematicamente?

Na verdade, existe, e a resposta está no complemento natural dos expoentes, que são quantidades divertidas e úteis conhecidas como logaritmos.

A expoente, também chamado de potência, é uma forma comprimida de expressar multiplicações repetidas de um número sozinho. 4⁵ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.

• Qualquer número elevado à potência de 1 mantém o mesmo valor; qualquer número com um expoente de 0 é igual a 1. Por exemplo, 72¹ = 72; 72⁰ = 1.

Os expoentes podem ser negativos, produzindo a relação x⁻ⁿ= 1 / (xⁿ). Eles também podem ser expressos como frações, por exemplo, 2^(5/3). Se expresso como frações, o numerador e o denominador devem ser números inteiros.

Logaritmos, ou "logs", podem ser considerados expoentes expressos como algo diferente de uma potência. Isso provavelmente não ajuda muito, então talvez um ou dois exemplos ajudem.

Na expressão 10³ = 1,000, o número 10 é o base, e está sendo elevado à terceira potência (ou desligar três). Você pode expressar isso como, "a base de 10 elevada à terceira potência é igual a 1.000."

Um exemplo de logaritmo é registro₁₀(1,000) = 3. Observe que os números e suas relações entre si são iguais aos do exemplo anterior, mas foram movidos. Em palavras, isso significa, "o log de base 10 de 1.000 é igual a 3."

A quantidade à direita é a potência à qual a base de 10 deve ser elevada para igualar o argumento, ou entrada do log, o valor entre parênteses (neste caso 1.000). Este valor tem que ser positivo, porque a base - que pode ser um número diferente de 10, mas presume-se que seja 10 quando omitida, por exemplo, "log 4" - também é sempre positiva.

Então, como você pode trabalhar facilmente entre logs e expoentes? Algumas regras sobre o comportamento dos logs podem ajudá-lo a começar com problemas de expoentes.

Com as informações acima, você está pronto para tentar resolver um expoente em uma equação.

Exemplo: Se 50 = 4^x, o que é x?

Se você levar o log para a base 10 de cada lado e omitir a identificação explícita da base, isso se tornará log 50 = log 4^x. Da caixa acima, você sabe que log 4^x = x log 4. Isso deixa você com

log 50 = x log 4 ou x = (log 50) / (log 4).

Usando sua calculadora ou dispositivo eletrônico de escolha, você descobre que a solução é (1,689 / 0,602) = 2.82.

As mesmas regras se aplicam quando a base é e, o assim chamado Logaritmo natural, que tem um valor de cerca de 2,7183. Você também deve ter um botão para isso na sua calculadora. Este valor também tem sua própria notação: log_ex é escrito simplesmente "ln x".

• A função y = e^x i, com e não uma variável, mas uma constante com este valor, é a única função com uma inclinação igual à sua própria altura para todos os xe y.
  
• Tão logo₁₀10^x = x, ln e^x = x para todo x.

Exemplo: Resolva a equação 16 = e^2,7x.

Como acima, ln 16 = ln e^2,7x = 2,7x.

ln 16 = 2,77 = 2,7x, então x = 2/77 / 2,7 = 1.03.