De acordo com Euclides, uma linha reta dura para sempre. Quando há mais de uma linha em um plano, a situação se torna mais interessante. Se duas linhas nunca se cruzam, as linhas são paralelas. Se duas linhas se cruzam em um ângulo reto - 90 graus - as linhas são ditas perpendiculares. A chave para entender como as linhas se relacionam entre si é o conceito de inclinação, que é a relação que todas as linhas têm com o plano de fundo.
Uma linha horizontal tem uma inclinação zero. Se a linha for vertical, a inclinação é considerada indefinida. Para todas as outras linhas, a inclinação é encontrada desenhando (ou imaginando) um pequeno triângulo retângulo formado por linhas verticais e horizontais curtas, onde um segmento da linha sendo testada é a hipotenusa. O comprimento da linha vertical dividido pelo comprimento da linha horizontal é a inclinação da linha em questão.
As linhas paralelas têm a mesma inclinação. Você não precisa representar graficamente as retas e construir o triângulo de definição para encontrar a inclinação. Se a equação da reta estiver na forma adequada, você pode ler a inclinação diretamente da fórmula. A forma de inclinação é y = mx + b. Manipule sua fórmula até que esteja nesta forma e "m" seja a inclinação. Por exemplo, se sua linha tem a equação Ax - By = C, uma pequena manipulação algébrica a coloca na forma equivalente y = (A / B) x - C / B, então a inclinação desta linha é A / B.
As inclinações das linhas perpendiculares têm uma relação específica. Se a inclinação da linha nº 1 for m, a inclinação de uma linha perpendicular a ela terá inclinação -1 / m. As inclinações das linhas perpendiculares são recíprocas negativas entre si. Se a inclinação de uma linha em particular for 3, todas as linhas perpendiculares à linha terão inclinação -1/3.
Conhecer inclinações, linhas paralelas e linhas perpendiculares permite construir qualquer tipo de linha através de qualquer ponto. Considere, por exemplo, o problema de encontrar a equação para uma linha que passa pelo ponto (3, 4) e é perpendicular à linha 3x + 4y = 5. Manipulando a equação da reta conhecida, você obtém y = - (3/4) x + 5/4. A inclinação desta linha é -3/4 e a inclinação da linha perpendicular a esta linha é 4/3. As linhas perpendiculares ficarão assim: y = 4 / 3x + b. Para a linha que passa por (3, 4), você pode inserir os números como este: 4 = 4/3 (3) + b, o que significa que b = 0. A equação para a linha que passa por (3, 4) e é perpendicular à linha 3x + 4y = 5 é y = 4 / 3x ou 4x - 3y = 0.