A lei dos senos é uma fórmula que compara a relação entre os ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados. Contanto que você conheça pelo menos dois lados e um ângulo, ou dois ângulos e um lado, pode usar a lei dos senos para encontrar as outras informações que faltam sobre o triângulo. No entanto, em um conjunto muito limitado de circunstâncias, você pode acabar com duas respostas para a medida de um ângulo. Isso é conhecido como o caso ambíguo da lei dos senos.
Quando o caso ambíguo pode acontecer
O caso ambíguo da lei dos senos só pode acontecer se a parte da "informação conhecida" do seu triângulo consistir em dois lados e um ângulo, onde o ângulo énãoentre os dois lados conhecidos. Às vezes, é abreviado como SSA ou triângulo de ângulo lateral. Se o ângulo estivesse entre os dois lados conhecidos, ele seria abreviado como SAS ou triângulo lateral do ângulo lateral e o caso ambíguo não se aplicaria.
Uma recapitulação da Lei de Sines
A lei dos senos pode ser escrita de duas maneiras. A primeira forma é conveniente para encontrar as medidas dos lados ausentes:
\ frac {a} {\ sin (A)} = \ frac {b} {\ sin (B)} = \ frac {c} {\ sin (C)}
A segunda forma é conveniente para encontrar as medidas dos ângulos perdidos:
\ frac {\ sin (A)} {a} = \ frac {\ sin (B)} {b} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Observe que os dois formulários são equivalentes. Usar uma forma ou outra não mudará o resultado de seus cálculos. Isso apenas os torna mais fáceis de trabalhar, dependendo da solução que você está procurando.
Qual é a aparência do caso ambíguo
Na maioria dos casos, a única pista de que você pode ter um caso ambíguo em suas mãos é a presença de um triângulo SSA onde é solicitado que você encontre um dos ângulos ausentes. Imagine que você tem um triângulo com ânguloUMA= 35 graus, ladouma= 25 unidades e ladob= 38 unidades, e você foi solicitado a encontrar a medida do ânguloB. Depois de encontrar o ângulo ausente, você deve verificar se o caso ambíguo se aplica.
Insira suas informações conhecidas na lei dos senos. Usando o segundo formulário, isso dá a você:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Desconsidere o pecado (C)/c; é irrelevante para os fins deste cálculo. Então, realmente, você tem:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38}
Resolva paraB. Uma opção é fazer a multiplicação cruzada; isso dá a você:
25 × \ sin (B) = 38 × \ sin (35)
A seguir, simplifique usando uma calculadora ou gráfico para encontrar o valor de sin (35). É aproximadamente 0,57358, o que dá a você:
25 × \ sin (B) = 38 × 0,57358
que simplifica para:
25 × \ sin (B) = 21,79604
Em seguida, divida ambos os lados por 25 para isolar o pecado (B), dando-lhe:
\ sin (B) = 0,8718416
Para terminar de resolver paraB, tome o arco seno ou seno inverso de 0,8718416. Ou, em outras palavras, use sua calculadora ou gráfico para encontrar o valor aproximado de um ângulo B que tem o seno 0,8718416. Esse ângulo é de aproximadamente 61 graus.
Verifique o caso ambíguo
Agora que você tem uma solução inicial, é hora de verificar o caso ambíguo. Este caso surge porque para cada ângulo agudo, existe um ângulo obtuso com o mesmo seno. Portanto, embora ~ 61 graus seja o ângulo agudo com seno de 0,8718416, você também deve considerar o ângulo obtuso como uma solução possível. Isso é um pouco complicado porque sua calculadora e seu gráfico de valores de seno muito provavelmente não lhe dirão sobre o ângulo obtuso, então você deve se lembrar de verificá-lo.
Encontre o ângulo obtuso com o mesmo seno subtraindo o ângulo que você encontrou - 61 graus - de 180. Então você tem 180 - 61 = 119. Portanto, 119 graus é o ângulo obtuso que tem o mesmo seno de 61 graus. (Você pode verificar isso com uma calculadora ou gráfico de seno).
Mas esse ângulo obtuso formará um triângulo válido com as outras informações que você tem? Você pode verificar facilmente adicionando aquele ângulo novo e obtuso ao "ângulo conhecido" que recebeu no problema original. Se o total for inferior a 180 graus, o ângulo obtuso representa uma solução válida e você terá que continuar quaisquer cálculos adicionais comAmbastriângulos válidos em consideração. Se o total for maior que 180 graus, o ângulo obtuso não representa uma solução válida.
Nesse caso, o "ângulo conhecido" era de 35 graus e o ângulo obtuso recém-descoberto era de 119 graus. Então você tem:
119 + 35 = 154 \ texto {graus}
Como 154 graus <180 graus, o caso ambíguo se aplica e você tem duas soluções válidas: O ângulo em questão pode medir 61 graus ou pode medir 119 graus.