Em matemática, o recíproco de um número é o número que, quando multiplicado pelo número original, produz 1. Por exemplo, o recíproco para a variável x é 1 /x, Porque
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
Neste exemplo, 1 /xé a identidade recíproca dex, e vice versa. Na trigonometria, qualquer um dos ângulos diferentes de 90 graus em um triângulo retângulo pode ser definido por razões chamadas seno, cosseno e tangente. Aplicando o conceito de identidades recíprocas, os matemáticos definem mais três razões. Seus nomes são cossecante, secante e cotangente. Cossecante é a identidade recíproca do seno, a secante do cosseno e a cotangente da tangente.
Como determinar identidades recíprocas
Considere um ânguloθ, que é um dos dois ângulos diferentes de 90 graus em um triângulo retângulo. Se o comprimento do lado do triângulo oposto ao ângulo for "b, "o comprimento do lado adjacente ao ângulo e oposto às hipotenos é"uma"e o comprimento da hipotenusa é"r, "podemos definir as três razões trigonométricas primárias em termos desses comprimentos.
\ text {seno} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosseno} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangente} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
A identidade recíproca do pecadoθdeve ser igual a 1 / sin θ, pois esse é o número que, quando multiplicado por sinθ, produz 1. O mesmo é verdade para cosθe bronzeadoθ. Os matemáticos dão a esses recíprocos os nomes cossecante, secante e cotangente, respectivamente. Por definição:
\ text {cossecante} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secante} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {cotangente} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Você pode definir essas identidades recíprocas em termos dos comprimentos dos lados do triângulo retângulo da seguinte maneira:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
As seguintes relações são verdadeiras para qualquer ânguloθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Duas outras identidades trigonométricas
Se você conhece o seno e o cosseno de um ângulo, pode derivar a tangente. Isso é verdade porque
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {e} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, então} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Uma vez que esta é a definição de tan θ, a seguinte identidade, conhecida como identidade quociente, segue:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
A identidade pitagórica decorre do fato de que, para qualquer triângulo retângulo com ladosumaebe hipotenusar, o seguinte é verdadeiro:uma2 + b2 = r2. Reorganizando os termos e definindo proporções em termos de seno e cosseno, você chega à seguinte expressão:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Duas outras relações importantes seguem quando você insere identidades recíprocas para seno e cosseno na expressão acima:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ