Assim como na álgebra, quando você começa a aprender trigonometria, acumula conjuntos de fórmulas que são úteis para a solução de problemas. Um desses conjuntos são as identidades de meio-ângulo, que você pode usar para duas finalidades. Um é converter funções trigonométricas de (θ/ 2) em funções em termos do mais familiar (e mais facilmente manipulado)θ. A outra é encontrar o valor real das funções trigonométricas deθ, quandoθpode ser expresso como a metade de um ângulo mais familiar.
Revisando as identidades do meio-ângulo
Muitos livros de matemática listam quatro identidades primárias de meio-ângulo. Mas, aplicando uma mistura de álgebra e trigonometria, essas equações podem ser transformadas em uma série de formas úteis. Você não precisa necessariamente memorizar tudo isso (a menos que seu professor insista), mas você deve, pelo menos, entender como usá-los:
Identidade de Meio Ângulo para Seno
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Identidade de meio ângulo para cosseno
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Identidades de meio-ângulo para tangente
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Identidades de meio-ângulo para Cotangent
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Um exemplo de uso de identidades de meio-ângulo
Então, como você usa identidades de meio-ângulo? O primeiro passo é reconhecer que você está lidando com um ângulo que é metade de um ângulo mais familiar.
- Quadrante I: todas as funções trigonométricas
- Quadrante II: apenas seno e cossecante
- Quadrante III: apenas tangente e cotangente
- Quadrante IV: apenas cosseno e secante
imagine que você seja solicitado a encontrar o seno do ângulo de 15 graus. Este não é um dos ângulos para os quais a maioria dos alunos memorizará os valores das funções trigonométricas. Mas se você deixar 15 graus ser igual a θ / 2 e, em seguida, resolver para θ, você descobrirá que:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Como o θ resultante, 30 graus, é um ângulo mais familiar, usar a fórmula do meio-ângulo aqui será útil.
Como você foi solicitado a encontrar o seno, há realmente apenas uma fórmula de meio-ângulo para escolher:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Substituindo emθ/ 2 = 15 graus eθ= 30 graus dá a você:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Se lhe pedissem para encontrar a tangente ou cotangente, ambas as quais multiplicam pela metade maneiras de expressar sua identidade de meio ângulo, você simplesmente escolheria a versão que parecia mais fácil de trabalhar.
O sinal ± no início de algumas identidades de meio-ângulo significa que a raiz em questão pode ser positiva ou negativa. Você pode resolver essa ambigüidade usando seu conhecimento das funções trigonométricas nos quadrantes. Aqui está uma rápida recapitulação de quais funções trigonométricas retornampositivovalores em que quadrantes:
Porque, neste caso, seu ângulo θ representa 30 graus, que cai no quadrante I, você sabe que o valor do seno que ele retorna será positivo. Portanto, você pode abandonar o sinal ± e simplesmente avaliar:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Substitua no valor conhecido e familiar de cos (30). Nesse caso, use os valores exatos (em oposição às aproximações decimais de um gráfico):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
A seguir, simplifique o lado direito de sua equação para encontrar um valor para sin (15). Comece multiplicando a expressão sob o radical por 2/2, o que dá a você:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Isso simplifica para:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Você pode então fatorar a raiz quadrada de 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
Na maioria dos casos, isso é o que você simplificaria. Embora o resultado possa não ser muito bonito, você traduziu o seno de um ângulo desconhecido em uma quantidade exata.