Como Encontrar o Maior Fator Comum de Dois Números

Encontrar o maior fator comum, ou GCF, de dois números é útil em muitas situações em matemática, mas particularmente quando se trata de simplificar frações. Se você está lutando com isso ou encontrando denominadores comuns, aprender dois métodos para encontrar fatores comuns o ajudará a alcançar o que você está planejando fazer. Primeiro, porém, é uma boa ideia aprender sobre os fatores básicos; então, você pode examinar duas abordagens para encontrar fatores comuns. Finalmente, você pode ver como aplicar seu conhecimento para simplificar uma fração.

Fatores são os números que você multiplica para produzir outro número. Por exemplo, 2 e 3 são fatores de 6, porque 2 × 3 = 6. Da mesma forma, 3 e 3 são fatores de 9, porque 3 × 3 = 9. Como você deve saber, os números primos são números que não possuem outros fatores além deles próprios e 1. Portanto, 3 é um número primo, porque os únicos dois números inteiros (inteiros) que podem se multiplicar para fornecer 3 como uma resposta são 3 e 1. Da mesma forma, 7 é um número primo e, portanto, 13.

Por causa disso, muitas vezes é útil dividir um número em "fatores primos". Isso significa encontrar todos os fatores de número primo de outro número. Basicamente, ele divide o número em seus "blocos de construção" fundamentais, o que é um passo útil para encontrar o maior fator comum de dois números e também é inestimável quando se trata de simplificar o quadrado raízes.

O método mais simples para encontrar o maior fator comum de dois números é simplesmente listar todos os fatores de cada número e procurar o número mais alto que ambos compartilham. Imagine que você deseja encontrar o maior fator comum de 45 e 60. Primeiro, observe os diferentes números que você pode multiplicar para produzir 45.

A maneira mais fácil de começar é com os dois que você sabe que funcionarão, mesmo para um número primo. Nesse caso, sabemos que 1 × 45 = 45, então sabemos que 1 e 45 são fatores de 45. Esses são o primeiro e o último fator de 45, então você pode simplesmente preencher a partir daí. Em seguida, descubra se 2 é um fator. Isso é fácil, porque qualquer número par será divisível por 2, e qualquer número ímpar não. Portanto, sabemos que 2 não é um fator de 45. Que tal 3? Você deve ser capaz de perceber que 3 é um fator de 45, porque 3 × 15 = 45 (você sempre pode construir sobre o que você sabe como resolver isso, por exemplo, você saberá que 3 × 12 = 36, e adicionar três a isso leva você a 45).

Em seguida, 4 é um fator de 45? Não - você sabe 11 × 4 = 44, então não pode ser! Em seguida, que tal 5? Este é outro fácil, porque qualquer número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5. E com isso, você pode identificar facilmente que 5 × 9 = 45. Mas 6 não é bom porque 7 × 6 = 42 e 8 × 6 = 48. Disto, você também pode ver que 7 e 8 não são fatores de 45. Já sabemos que 9 é, e é fácil ver que 10 e 11 não são fatores. Continue esse processo e você verá que 15 é um fator, mas nada mais é.

Portanto, os fatores de 45 são: 1, 3, 5, 9, 15 e 45.

Para 60, você executa exatamente o mesmo processo. Desta vez, o número é par (então você sabe que 2 é um fator) e divisível por 10 (então 5 e 10 são ambos fatores), o que torna as coisas um pouco mais fáceis. Depois de passar pelo processo novamente, você verá que os fatores de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.

A comparação das duas listas mostra que 15 é o maior fator comum de 45 e 60. Este método pode ser demorado, mas é simples e sempre funcionará. Você também pode começar em qualquer fator comum alto que puder identificar imediatamente e, em seguida, simplesmente procurar os fatores mais altos de cada número.

O segundo método de encontrar o GCF para dois números é usar fatores primos. O processo de fatoração principal é um pouco mais fácil e estruturado do que encontrar todos os fatores. Vamos passar pelo processo de 42 e 63.

O processo de fatoração de primos basicamente envolve quebrar o número até que você fique apenas com os números primos. É melhor começar com o menor primo (dois) e trabalhar a partir daí. Portanto, para 42, é fácil ver que 2 × 21 = 42. Então trabalhe a partir do 21: 2 é um fator? Não. São 3? Sim! 3 × 7 = 21, e 3 e 7 são ambos números primos. Isso significa que os fatores principais de 42 são 2, 3 e 7. A primeira “quebra” usava 2 para chegar a 21, e a segunda dividia isso em 3 e 7. Você pode verificar isso multiplicando todos os seus fatores juntos e verificando se obteve o número original: 2 × 3 × 7 = 42.

Para 63, 2 não é um fator, mas 3 é, porque 3 × 21 = 63. Novamente, 21 se divide em 3 e 7 - ambos primos - então você conhece os fatores primos! A verificação mostra que 3 × 3 × 7 = 63, conforme necessário.

Você encontra o fator comum mais alto observando quais fatores primos os dois números têm em comum. Nesse caso, 42 tem 2, 3 e 7 e 63 tem 3, 3 e 7. Eles têm 3 e 7 em comum. Para encontrar o fator comum mais alto, multiplique todos os fatores primos comuns juntos. Nesse caso, 3 × 7 = 21, então 21 é o maior fator comum de 42 e 63.

O exemplo anterior também pode ser resolvido mais rapidamente desta forma. Como 45 é divisível por três (3 × 15 = 45) e 15 também é divisível por três (3 × 5 = 15), os fatores primos de 45 são 3, 3 e 5. Para 60, é divisível por dois (2 × 30 = 60), 30 também é divisível por dois (2 × 15 = 30) e você fica com 15, que sabemos ter três e cinco como fatores primos, deixando 2, 2, 3 e 5. Comparando as duas listas, três e cinco são os fatores primos comuns, portanto, o maior fator comum é 3 × 5 = 15.

No caso de haver três ou mais fatores primos comuns, você os multiplica todos juntos da mesma maneira para encontrar o maior fator comum.

Se você for apresentado a uma fração como 32/96, ele pode tornar qualquer cálculo posterior muito complicado, a menos que você encontre uma maneira de simplificar a fração. Encontrar o fator comum mais baixo de 32 e 96 dirá o número pelo qual dividir, para obter uma fração mais simples. Nesse caso:

Para 96, o processo dá:

Deve ficar claro que 2⁵ = 32 é o maior fator comum. Dividindo ambas as partes da fração por 32 dá:

Encontrar denominadores comuns é um processo semelhante. Imagine que você precisasse somar as frações 15/45 e 40/60. Sabemos pelo primeiro exemplo que 15 é o fator comum mais alto de 45 e 60, então podemos expressá-los imediatamente como 5/15 e 10/15. Como 3 × 5 = 15, e ambos os numeradores também são divisíveis por cinco, podemos dividir ambas as partes de ambas as frações por cinco para obter 1/3 e 2/3. Agora eles são muito mais fáceis de adicionar e ver que