A lei dos senos e a lei dos cossenos são fórmulas trigonométricas que relacionam as medidas dos ângulos de um triângulo aos comprimentos de seus lados. Eles são derivados da propriedade de que ângulos maiores em triângulos têm lados opostos proporcionalmente maiores. Use a lei dos senos ou a lei dos cossenos para calcular os comprimentos dos lados de um triângulo e quadrilátero (um quadrilátero é essencialmente dois triângulos adjacentes) se você souber a medida de um lado, um ângulo e um lado adicional ou ângulo.
Encontre os dados do triângulo. Os dados são comprimentos de lados e medidas de ângulos já conhecidos. Você não pode encontrar a medida dos comprimentos dos lados de um triângulo a menos que saiba a medida de um ângulo, um lado e outro lado ou outro ângulo.
Use os dados para determinar se o triângulo é um triângulo ASA, AAS, SAS ou ASS. Um triângulo ASA tem dois ângulos como dados, bem como o lado que conecta os dois ângulos. Um triângulo AAS tem dois ângulos e um lado diferente como dados. Um triângulo SAS tem dois lados como dados, bem como o ângulo formado pelos dois lados. Um triângulo ASS tem dois lados e um ângulo diferente como dados.
Use a lei dos senos para estabelecer uma equação relacionando os comprimentos dos lados se for um triângulo ASA, AAS ou ASS. A lei dos senos afirma que as razões dos senos dos ângulos de um triângulo e seus lados opostos são iguais:
\ sin \ bigg (\ frac {A} {a} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {B} {b} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {C} {c} \ bigg)
Ondeuma, becsão os comprimentos dos lados opostos dos ângulosUMA, BeC, respectivamente.
Por exemplo, se você sabe que dois ângulos têm 40 graus e 60 graus e o lado que os une tem 3 unidades de comprimento, você deve configurar a equação:
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {40} {b} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {60} {c} \ bigg)
Você sabe que o ângulo oposto ao lado com 3 unidades de comprimento é 80 graus porque a soma dos ângulos de um triângulo é 180 graus.
Use a lei dos cossenos para configurar uma equação relacionando os comprimentos dos lados se for um triângulo SAS. A lei dos cossenos afirma que:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos C
Em outras palavras, o quadrado do comprimento do lado c é igual aos quadrados dos outros dois comprimentos laterais menos o produto desses dois lados e o cosseno do ângulo oposto ao lado desconhecido. Por exemplo, se os dois lados fossem 3 unidades e 4 unidades e o ângulo fosse 60 graus, você escreveria a equação
c ^ 2 = 3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 34 × \ cos 60
Resolva as variáveis nas equações para encontrar os comprimentos de triângulo desconhecidos. Resolvendo parabna equação
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {40} {b} \ bigg)
produz o valor
b = 3 × \ frac {\ sin (40)} {\ sin (80)}
tãobé aproximadamente 2. Resolvendo paracna equação
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {60} {c} \ bigg)
produz o valor
c = 3 × \ frac {\ sin (60)} {\ sin (80)}
tãocé aproximadamente 2,6. Da mesma forma, resolver paracna equação
c ^ 2 = 3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 34 × \ cos (60)
produz o valor
c ^ 2 = 25 - 6 \ text {ou} c ^ 2 = 19
tãocé aproximadamente 4,4.