As raízes quadradas são freqüentemente encontradas em problemas de matemática e ciências, e qualquer aluno precisa aprender o básico das raízes quadradas para lidar com essas questões. As raízes quadradas perguntam “qual número, quando multiplicado por ele mesmo, dá o seguinte resultado” e, como tal, calculá-las requer que você pense sobre os números de uma maneira ligeiramente diferente. No entanto, você pode entender facilmente as regras de raízes quadradas e responder a quaisquer questões que as envolvam, sejam elas de cálculo direto ou apenas de simplificação.
TL; DR (muito longo; Não li)
Uma raiz quadrada pergunta a você qual número, quando multiplicado por si mesmo, dá o resultado após o símbolo √. Portanto, √9 = 3 e √16 = 4. Cada raiz tem tecnicamente uma resposta positiva e uma negativa, mas na maioria dos casos a resposta positiva é aquela em que você estará interessado.
Você pode fatorar raízes quadradas como números comuns, então √ab = √uma √bou √6 = √2√3.
O que é uma raiz quadrada?
Raízes quadradas são o oposto de “elevar ao quadrado” um número ou multiplicá-lo por ele mesmo. Por exemplo, três ao quadrado é nove (32 = 9), então a raiz quadrada de nove é três. Em símbolos, isso é
\ sqrt {9} = 3
O símbolo “√” indica que você deve tirar a raiz quadrada de um número, e você pode encontrar isso na maioria das calculadoras.
Lembre-se de que todo número realmente temdoisraízes quadradas. Três multiplicado por três é igual a nove, mas três negativo multiplicado por três negativo também é igual a nove, então
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {e} \ sqrt {9} = ± 3
com o ± representando "mais ou menos". Em muitos casos, você pode ignorar as raízes quadradas negativas dos números, mas às vezes é importante lembrar que cada número tem duas raízes.
Você pode ser solicitado a obter a “raiz cúbica” ou “quarta raiz” de um número. A raiz cúbica é o número que, quando multiplicado por ele mesmo duas vezes, é igual ao número original. A quarta raiz é o número que, quando multiplicado por si mesmo três vezes, é igual ao número original. Como as raízes quadradas, elas são exatamente o oposto de obter a potência dos números. Então, 33 = 27, e isso significa que a raiz cúbica de 27 é 3, ou
\ sqrt [3] {27} = 3
O símbolo “∛” representa a raiz cúbica do número que vem depois dele. As raízes às vezes também são expressas como potências fracionárias, então
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {e} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Simplificando as raízes quadradas
Uma das tarefas mais desafiadoras que você pode ter de realizar com raízes quadradas é simplificar grandes raízes quadradas, mas você só precisa seguir algumas regras simples para lidar com essas questões. Você pode fatorar raízes quadradas da mesma forma que fatora números comuns. Então, por exemplo 6 = 2 × 3, então
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Simplificar raízes maiores significa fazer a fatoração passo a passo e lembrar a definição de uma raiz quadrada. Por exemplo, √132 é uma grande raiz e pode ser difícil saber o que fazer. No entanto, você pode ver facilmente que é divisível por 2, então você pode escrever
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
No entanto, 66 também é divisível por 2, então você pode escrever:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
Neste caso, a raiz quadrada de um número multiplicado por outra raiz quadrada apenas dá o número original (por causa da definição de raiz quadrada), então
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Resumindo, você pode simplificar as raízes quadradas usando as seguintes regras
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Qual é a raiz quadrada de ...
Usando as definições e regras acima, você pode encontrar as raízes quadradas da maioria dos números. Aqui estão alguns exemplos a serem considerados.
A raiz quadrada de 8
Isso não pode ser encontrado diretamente porque não é a raiz quadrada de um número inteiro. No entanto, usar as regras de simplificação dá:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
A raiz quadrada de 4
Isso faz uso da raiz quadrada simples de 4, que é √4 = 2. O problema pode ser resolvido exatamente usando uma calculadora, e √8 = 2,8284 ...
A raiz quadrada de 12
Usando a mesma abordagem, tente calcular a raiz quadrada de 12. Divida a raiz em fatores e, em seguida, veja se consegue dividi-la em fatores novamente. Tente fazer isso como um problema prático e, em seguida, observe a solução abaixo:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Novamente, essa expressão simplificada pode ser usada em problemas conforme necessário ou calculada exatamente com uma calculadora. Uma calculadora mostra que
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3,4641….
A raiz quadrada de 20
A raiz quadrada de 20 pode ser encontrada da mesma maneira:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4,4721….
A raiz quadrada de 32
Finalmente, resolva a raiz quadrada de 32 usando a mesma abordagem:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Aqui, observe que já calculamos a raiz quadrada de 8 como 2√2, e que √4 = 2, então:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ...
Raiz quadrada de um número negativo
Embora a definição de uma raiz quadrada signifique que os números negativos não devem ter uma raiz quadrada (porque qualquer número é multiplicado por si só dá um número positivo como resultado), os matemáticos os encontraram como parte de problemas de álgebra e criaram um solução. O número “imaginário”eué usado para significar "a raiz quadrada de menos 1" e quaisquer outras raízes negativas são expressas como múltiplos deeu. Então
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Esses problemas são mais desafiadores, mas você pode aprender a resolvê-los com base na definição deeue as regras padrão para raízes.
Perguntas e respostas de exemplo
Teste sua compreensão de raízes quadradas simplificando conforme necessário e, em seguida, calculando as seguintes raízes:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Tente resolvê-los antes de olhar as respostas abaixo:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7,071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8,637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4,899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196