UMAvetoré uma quantidade que tem magnitude e direção associadas a ela. Isso é diferente de umescalarquantidade, que corresponde apenas a uma magnitude. A velocidade é um exemplo de uma quantidade vetorial. Ele tem uma magnitude (a velocidade com que algo está indo) e uma direção (a direção em que está viajando).
Os vetores são frequentemente desenhados como setas. O comprimento da seta corresponde à magnitude do vetor e a ponta da seta indica a direção.
Existem duas maneiras de trabalhar com adição e subtração de vetores. A primeira é graficamente, manipulando os diagramas de setas dos próprios vetores. O segundo é matematicamente, o que dá resultados exatos.
Adição e subtração de vetores gráficos em uma dimensão
Ao adicionar dois vetores, você posiciona a cauda do segundo vetor na ponta do primeiro vetor enquanto mantém a orientação do vetor. Ovetor resultanteé um vetor que começa na cauda do primeiro vetor e aponta em linha reta para a ponta do segundo vetor.
Por exemplo, considere adicionar vetores
UMAeBque apontam na mesma direção ao longo de uma linha. Nós os colocamos "ponta a ponta" e o vetor resultante,C, aponta na mesma direção e tem um comprimento que é a soma dos comprimentos deUMAeB.Subtrair vetores em uma dimensão é essencialmente o mesmo que adicionar, exceto que você “inverte” o segundo vetor. Isso resulta diretamente do fato de que subtração é o mesmo que adicionar um negativo.
Adição e subtração de vetores matemáticos em uma dimensão
Ao trabalhar em uma dimensão, a direção de um vetor pode ser indicada por sinal. Escolhemos uma direção para ser a direção positiva (normalmente “para cima” ou “direita” são escolhidos como positivos) e atribuímos qualquer vetor que aponte nessa direção como uma quantidade positiva. Qualquer vetor apontando na direção negativa é uma quantidade negativa. Ao adicionar ou subtrair vetores, adicione ou subtraia suas magnitudes com os sinais apropriados anexados.
Suponha que na seção anterior, vetorUMAtinha uma magnitude de 3 e vetorBteve uma magnitude de 5. Então o vetor resultanteC = A + B =8, um vetor de magnitude 8 apontando na direção positiva e o vetor resultanteD = A - B =-2, um vetor de magnitude 2 apontando na direção negativa. Observe que isso é consistente com os resultados gráficos anteriores.
Dica: Tenha cuidado para adicionar apenas vetores do mesmo tipo: velocidade + velocidade, força + força e assim por diante. Tal como acontece com toda a matemática na física, as unidades devem ser iguais!
Adição e subtração de vetores gráficos em duas dimensões
Se o primeiro vetor e o segundo vetor não estiverem ao longo da mesma linha no espaço cartesiano, você pode usar o mesmo método “ponta a ponta” para adicioná-los ou subtraí-los. Para adicionar dois vetores, simplesmente imagine levantar o segundo e colocar sua cauda na ponta do primeiro, mantendo sua orientação conforme mostrado. O vetor resultante é uma seta começando na cauda do primeiro vetor e terminando na ponta do segundo vetor:
Assim como em uma dimensão, subtrair um vetor de outro é equivalente a inverter e adicionar. Graficamente, isso se parece com o seguinte:
•••Dana Chen | Ciência
Nota: Às vezes, a adição de vetores é mostrada graficamente colocando as caudas dos dois vetores adendos juntos e criando um paralelogramo. O vetor resultante é então a diagonal deste paralelogramo.
Adição e subtração matemática vetorial em duas dimensões
Para adicionar e subtrair vetores em duas dimensões matematicamente, siga estas etapas:
Decompor cada vetor em umx-componente, às vezes chamado de componente horizontal, e umy-componente, às vezes chamado de componente vertical, usando trigonometria. (Observe que os componentes podem ser negativos ou positivos, dependendo da direção em que o vetor está apontando)
Adicione ox-componentes de ambos os vetores juntos e, em seguida, adicione oy-componentes de ambos os vetores juntos. Este resultado dá a você oxeycomponentes do vetor resultante.
A magnitude do vetor resultante pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras.
A direção do vetor resultante pode ser encontrada via trigonometria usando a função tangente inversa. Essa direção é normalmente fornecida como um ângulo em relação ao positivox-eixo.
Trigonometria em adição de vetor
Lembre-se das relações entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo da trigonometria.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ texto {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ texto {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Teorema de Pitágoras:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
O movimento do projétil fornece exemplos clássicos de como podemos usar essas relações para decompor um vetor e determinar a magnitude e a direção finais de um vetor.
Considere duas pessoas jogando bola. Suponha que lhe digam que a bola é lançada de uma altura de 1,3 m com uma velocidade de 16 m / s em um ângulo de 50 graus com a horizontal. Para começar a analisar este problema, você precisará decompor este vetor de velocidade inicial emxeycomponentes como mostrado:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ vezes \ cos (50) = 10,3 \ texto {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ vezes \ sin (50) = 12,3 \ texto {m / s}
Se o receptor errar a bola e ela atingir o solo, com que velocidade final ela atingirá?
Usando equações cinemáticas, podemos determinar que os componentes finais da velocidade da bola são:
v_ {xf} = 10,3 \ texto {m / s} \\ v_ {yf} = - 13,3 \ texto {m / s}
O teorema de Pitágoras nos permite encontrar a magnitude:
v_ {f} = \ sqrt {(10,3) ^ 2 + (-13,3) ^ 2} = 16,8 \ texto {m / s}
E a trigonometria nos permite determinar o ângulo:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Grande (\ frac {-13,3} {10,3} \ Grande) = - 52,2 \ graus
Exemplo de adição e subtração de vetor
Considere um carro virando uma esquina. Suponhaveupois o carro está nox-direção com magnitude 10 m / s, evfestá em um ângulo de 45 graus com o positivox-eixo com magnitude 10 m / s. Se essa mudança no movimento ocorrer em 3 segundos, qual é a magnitude e a direção da aceleração do carro enquanto ele gira?
Lembre-se daquela aceleraçãoumaé uma quantidade vetorial definida como:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Ondevfeveusão velocidades final e inicial, respectivamente (e, portanto, também são quantidades vetoriais).
Para calcular a diferença vetorialvf - veu,devemos primeiro decompor os vetores de velocidade inicial e final:
v_ {xi} = 10 \ texto {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ texto {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7,07 \ texto {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ texto {m / s}
Então nós subtraímos o finalxeycomponentes do inicialxeycomponentes para obter componentes devf - veu:
Então nós subtraímos oxeycomponentes:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7,07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7,07 -0 = 7,07 \ texto {m / s}
Em seguida, divida cada um por tempo para obter os componentes do vetor de aceleração:
a_x = \ frac {-2,93} {3} = - 0,977 \ texto {m / s} ^ 2 \\\ texto {} \\ a_y = \ frac {7,07} {3} = 2,36 \ texto {m / s} ^ 2
Use o teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude do vetor de aceleração:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ texto {m / s} ^ 2
Finalmente, use a trigonometria para encontrar a direção do vetor de aceleração:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Grande (\ frac {2,36} {- 0,977} \ Grande) = 113 \ graus