Cinemática rotacional: o que é e por que é importante (com equações e exemplos)

Cinemática é um ramo matemático da física que usa equações para descrever o movimento de objetos (especificamente seustrajetórias) sem se referir a forças.

Ou seja, você poderia simplesmente inserir vários números no conjunto de quatro equações cinemáticas para encontrar quaisquer incógnitas em essas equações sem a necessidade de nenhum conhecimento da física por trás desse movimento, contando apenas com a sua álgebra Habilidades.

Pense em “cinemática” como uma combinação de “cinética” e “matemática” - em outras palavras, a matemática do movimento.

A cinemática rotacional é exatamente isso, mas trata especificamente de objetos que se movem em caminhos circulares, em vez de horizontal ou verticalmente. Como objetos no mundo do movimento translacional, esses objetos rotativos podem ser descritos em termos de seu deslocamento, velocidade e aceleração ao longo do tempo, embora algumas das variáveis ​​mudem necessariamente para acomodar as diferenças básicas entre linear e angular movimento.

Na verdade, é muito útil aprender o básico sobre movimento linear e movimento rotacional ao mesmo tempo, ou pelo menos ser apresentado às variáveis ​​e equações relevantes. Isso não é para sobrecarregá-lo, mas sim para sublinhar os paralelos.

Claro, é importante lembrar ao aprender sobre esses "tipos" de movimento no espaço que a tradução e a rotação estão longe de ser mutuamente exclusivas. Na verdade, a maioria dos objetos em movimento no mundo real exibe uma combinação de ambos os tipos de movimento, com um deles muitas vezes não sendo evidente à primeira vista.

Como "velocidade" normalmente significa "velocidade linear" e "aceleração" implica em "aceleração linear", a menos que especificado de outra forma, é apropriado revisar alguns exemplos simples de movimento básico.

Movimento linear significa literalmente movimento confinado a uma única linha, muitas vezes atribuída à variável "x". Problemas de movimento de projéteis envolvem x- e dimensões y e a gravidade é a única força externa (observe que esses problemas são descritos como ocorrendo em um mundo tridimensional, por exemplo, "Uma bala de canhão é disparado... ”).

Observe que a massamnão entra em equações cinemáticas de qualquer tipo, porque o efeito da gravidade no movimento dos objetos é independente de sua massa, e quantidades como momentum, inércia e energia não fazem parte de quaisquer equações de movimento.

Porque o movimento rotacional envolve o estudo de caminhos circulares (tanto em formas circulares não uniformes quanto uniformes movimento) em vez de usar metros para descrever o deslocamento de um objeto, você usa radianos ou graus em vez de.

O radiano é, na superfície, uma unidade estranha, traduzindo para 57,3 graus. Mas uma viagem ao redor de um círculo (360 graus) é definida como 2π radianos e, por razões que você está prestes a ver, isso se prova conveniente ao resolver problemas em alguns casos.

• O relacionamentoπ rad = 180 grauspode ser usado para converter facilmente entre as duas unidades de medida.

Pode haver problemas que incluem o número de revoluções por unidade de tempo (rpm ou rps). Lembre-se de que cada revolução tem 2π radianos ou 360 graus.

Medidas de cinemática translacional, ou unidades, todas têm análogos rotacionais. Por exemplo, em vez da velocidade linear, que descreve, por exemplo, a distância que uma bola rola em linha reta ao longo de um determinado intervalo de tempo, arotacionalouvelocidade angulardescreve a taxa de rotação dessa bola (o quanto ela gira em radianos ou graus por segundo).

A principal coisa a ter em mente aqui é que toda unidade translacional possui um análogo rotacional. Aprender a relacionar matemática e conceitualmente os "parceiros" requer um pouco de prática, mas na maioria das vezes é uma questão de substituição simples.

Velocidade linearvespecifica a magnitude e a direção da translação de uma partícula; velocidade angularω(a letra grega ômega) representa sua velocidade singular, que é a velocidade com que o objeto está girando em radianos por segundo. Da mesma forma, a taxa de mudança deω, a aceleração angular, é dada porα(alfa) em rad / s².

Os valores deωeαsão iguais para qualquer ponto em um objeto sólido, estejam eles medidos a 0,1 m do eixo de rotação ou a 1.000 metros de distância, porque é apenas a velocidade do ânguloθmudanças que importam.

Existem, no entanto, velocidades tangenciais (e, portanto, lineares) e acelerações presentes na maioria das situações em que quantidades rotacionais são vistas. Quantidades tangenciais são calculadas multiplicando-se as grandezas angulares porr, a distância do eixo de rotação:v_t​ = ​ωreα​​_t​ = ​α​​r.​

Agora que as analogias de medição entre movimento rotacional e linear foram ajustadas usando a introdução de novos termos angulares, eles podem ser usados ​​para reescrever o quatro equações clássicas de cinemática translacional em termos de cinemática rotacional, apenas com variáveis ​​um pouco diferentes (as letras nas equações representam o desconhecido quantidades).

Existem quatro equações fundamentais, bem como quatro variáveis ​​básicas em jogo na cinemática: posição (x​, ​youθ), velocidade (vouω), aceleração (umaouα) e tempot. A equação que você escolhe depende de quais quantidades são desconhecidas para começar.

​- [inserir uma tabela de equações cinemáticas lineares / translacionais alinhadas com seus análogos rotacionais]​

Por exemplo, digamos que lhe digam que um braço de máquina passou por um deslocamento angular de 3π / 4 radianos com uma velocidade angular inicialω₀de 0 rad / s e uma velocidade angular finalωde π rad / s. Quanto tempo demorou este movimento?

Embora toda equação translacional tenha um análogo rotacional, o inverso não é totalmente verdadeiro por causa da aceleração centrípeta, que é uma consequência da velocidade tangencialv_te aponta para o eixo de rotação. Mesmo que não haja mudança na velocidade de uma partícula orbitando um centro de massa, isso representa aceleração porque a direção do vetor velocidade está sempre mudando.

1. Uma haste fina, classificada como um corpo rígido com comprimento de 3 m, gira em torno de um eixo em torno de uma extremidade. Ele acelera uniformemente do repouso para 3π rad / s² durante um período de 10 s.

a) Quais são a velocidade angular média e a aceleração angular durante este tempo?

Tal como acontece com a velocidade linear, basta dividir (ω₀+​ ​ω) por 2 para obter a velocidade angular média: (0 + 3π s^-1)/2 = ​1.5​​π​ ​s^-1​.

• Os radianos são uma unidade adimensional, portanto, nas equações cinemáticas, a velocidade angular é expressa como s^-1.

A aceleração média é dada porω=ω₀+ αt, ouα= (3π s^-1/ 10 s) =0,3π s^-2​.

b) Quantas revoluções completas a barra faz?

Como a velocidade média é 1,5π s^-1 e a haste gira por 10 segundos, ela se move por um total de 15π radianos. Uma vez que uma revolução tem 2π radianos, isso significa (15π / 2π) = 7,5 revoluções (sete revoluções completas) neste problema.

c) Qual é a velocidade tangencial da ponta da barra no tempo t = 10 s?

Desde av_t​ = ​ωr, eωno tempo t = 10 é 3π s^-1, ​v_t= (3π s^-1) (3 m) =9π m / s.​

​eué definido como o momento de inércia (também chamadosegundo momento da área) em movimento de rotação e é análogo à massa para fins computacionais. Assim, aparece onde a massa apareceria no mundo do movimento linear, talvez o mais importante no cálculo do momento angulareu. Este é o produto deeue​ω​,e é um vetor com direção igual a​ω​.​

​I = senhor² para uma partícula pontual, mas, caso contrário, depende da forma do objeto que faz a rotação, bem como do eixo de rotação. Consulte os Recursos para obter uma lista útil de valores deeupara formas comuns.

A massa é diferente porque a quantidade na cinemática rotacional com a qual se relaciona, momento de inércia, ela própria realmentecontémmassa como um componente.