Calcular a trajetória de um projétil serve como uma introdução útil a alguns conceitos-chave da física clássica, mas também tem muito escopo para incluir fatores mais complexos. No nível mais básico, a trajetória de uma bala funciona exatamente como a trajetória de qualquer outro projétil. A chave é separar os componentes da velocidade nos eixos (x) e (y) e usar a aceleração constante devido à gravidade para calcular a distância que a bala pode voar antes de atingir o solo. No entanto, você também pode incorporar o arrasto e outros fatores se quiser uma resposta mais precisa.
Ignore a resistência do vento para calcular a distância percorrida por uma bala usando a fórmula simples:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Onde (v0x) é sua velocidade inicial, (h) é a altura da qual é disparado e (g) é a aceleração devido à gravidade.
Esta fórmula incorpora arrasto:
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Aqui, (C) é o coeficiente de arrasto da bala, (ρ) é a densidade do ar, (A) é a área da bala, (t) é o tempo de voo e (m) é a massa da bala.
O pano de fundo: (x) e (y) componentes da velocidade
O ponto principal que você precisa entender ao calcular trajetórias é que as velocidades, forças ou qualquer outro "vetor" (que tem uma direção, bem como uma força) podem ser dividido em “componentes”. Se algo está se movendo em um ângulo de 45 graus com a horizontal, pense nisso como se movendo horizontalmente com uma certa velocidade e verticalmente com uma certa Rapidez. Combinar essas duas velocidades e levar em consideração suas direções diferentes dá a você a velocidade do objeto, incluindo a velocidade e a direção resultante.
Use as funções cos e sin para separar forças ou velocidades em seus componentes. Se algo está se movendo a uma velocidade de 10 metros por segundo em um ângulo de 30 graus com a horizontal, o componente x da velocidade é:
v_x = v \ cos {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ cos {30} = 8,66 \ text {m / s}
Onde (v) é a velocidade (ou seja, 10 metros por segundo), e você pode colocar qualquer ângulo no lugar de (θ) para se adequar ao seu problema. O componente (y) é dado por uma expressão semelhante:
v_y = v \ sin {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ sin {30} = 5 \ text {m / s}
Esses dois componentes constituem a velocidade original.
Trajetórias básicas com as equações de aceleração constante
A chave para a maioria dos problemas que envolvem trajetórias é que o projétil para de se mover para a frente quando atinge o chão. Se a bala for disparada de 1 metro no ar, quando a aceleração da gravidade a leva para baixo 1 metro, ela não pode viajar mais. Isso significa que o componente y é a coisa mais importante a se considerar.
A equação para o deslocamento do componente y é:
y = v_ {0y} t- \ frac {1} {2} gt ^ 2
O subscrito "0" significa a velocidade inicial na direção (y), (t) significa tempo e (g) significa a aceleração devido à gravidade, que é 9,8 m / s2. Podemos simplificar isso se o projétil for disparado perfeitamente horizontalmente, de modo que não tenha uma velocidade na direção (y). Isso deixa:
y = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
Nesta equação, (y) significa o deslocamento da posição inicial, e queremos saber quanto tempo leva para a bala cair de sua altura inicial (h). Em outras palavras, nós queremos
y = -h = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
Que você reorganiza para:
t = \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Esta é a hora de voar para a bala. Sua velocidade de avanço determina a distância que percorre, e isso é dado por:
x = v_ {0x} t
Onde a velocidade é a velocidade com que ela sai da arma. Isso ignora os efeitos do arrasto para simplificar a matemática. Usando a equação para (t) encontrada um momento atrás, a distância percorrida é:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Para uma bala que dispara a 400 m / se é disparada de 1 metro de altura, isso dá:
x = (400 \ texto {m / s}) \ sqrt {\ frac {2 (1 \ texto {m})} {9,8 \ texto {m / s} ^ 2}} = 180,8 \ texto {m}
Portanto, a bala viaja cerca de 181 metros antes de atingir o solo.
Incorporando Arrasto
Para obter uma resposta mais realista, arraste as equações acima. Isso complica um pouco as coisas, mas você pode calculá-lo facilmente se encontrar as informações necessárias sobre sua bala e a temperatura e pressão onde ela está sendo disparada. A equação para a força devido ao arrasto é:
F_ {drag} = \ frac {-C \ rho Av ^ 2} {2}
Aqui (C) representa o coeficiente de arrasto da bala (você pode descobrir para uma bala específica ou usar C = 0,295 como um valor geral), ρ é a densidade do ar (cerca de 1,2 kg / metro cúbico à pressão e temperatura normais), (A) é a área da seção transversal de uma bala (você pode calcular isso para uma bala específica ou apenas usar A = 4,8 × 10−5 m2, o valor para um calibre .308) e (v) é a velocidade da bala. Finalmente, você usa a massa da bala para transformar essa força em uma aceleração para usar na equação, que pode ser considerada como m = 0,016 kg, a menos que você tenha uma bala específica em mente.
Isso fornece uma expressão mais complicada para a distância percorrida na direção (x):
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Isso é complicado porque, tecnicamente, o arrasto reduz a velocidade, o que por sua vez reduz o arrasto, mas você pode simplificar as coisas apenas calculando o arrasto com base na velocidade inicial de 400 m / s. Usando um tempo de vôo de 0,452 s (como antes), isso dá:
x = (400 \ text {m / s}) (0,452 \ text {s}) - \ frac {(0,295) (1,2 \ text {kg / m} ^ 3) (4,8 \ times10 ^ {- 5} \ text {m} ^ 2) (400 \ texto {m / s}) ^ 2 (0,452 \ texto { s}) ^ 2} {2 (0,016 \ texto {kg})} \\ = 180,8 \ texto {m} - \ frac {0,555 \ texto {kgm}} {0,032 \ texto {kg}} \\ = 180,8 \ texto {m} -17,3 \ texto {m} \\ = 163,5 \ texto { m}
Portanto, a adição de arrasto altera a estimativa em cerca de 17 metros.