Como encontrar dy / dx por diferenciação implícita dada uma equação semelhante como y = sin (xy)

A diferenciação implícita é uma técnica usada para determinar a derivada de uma função na forma y = f (x).

Para aprender como usar a diferenciação implícita, podemos usar o método em um exemplo simples e depois explorar alguns casos mais complexos.

Embora pareça mais complicado, a diferenciação implícita usa todas as mesmas matemáticas e habilidades da diferenciação básica. O importante a notar, entretanto, é que nossa variável dependente agora aparece na própria função.

Pegue uma equação simples como xy = 1. Existem duas maneiras de encontrar a derivada de y em relação a xou dy / dx. Primeiro, podemos simplesmente resolver para y na equação e use a regra de potência para derivadas. Isso resultaria em: y = 1 / x. A aplicação da regra de potência revelaria, portanto, que dy / dx = -1 / x².

Também podemos resolver esse problema usando a diferenciação implícita. Felizmente, já sabemos a resposta (deve ser a mesma independentemente de como a calculamos), por isso podemos verificar o nosso trabalho!

Para começar, aplique a derivada a ambos os lados da equação xy = 1. Então, d / dx (xy) = d / dx (1); claramente o lado direito agora é igual a 0, mas o lado esquerdo requer a regra da cadeia. Isso ocorre porque estamos tomando a derivada de nossa função, y, enquanto está sendo multiplicado por outro fator de x. Para calcular isso: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Usaremos a notação primária para indicar uma derivada em relação a x.

Reescrever nossa equação resulta em: y + xy '= 0. É hora de resolver para y ' em nossa equação! Claramente, y '= -y / x. Mas, usando a informação original, sabemos que y = 1 / x, então podemos substituí-la de volta. Depois de fazer isso, vemos que y '= -1 / x², assim como encontramos antes.

Para determinar a derivada de y = sin (xy), usaremos a diferenciação implícita, lembrando que (d / dx) y = y '.

Primeiro, aplique a derivada a ambos os lados da equação: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). O lado esquerdo da equação é claramente y ', que é o que precisaremos resolver, mas o lado certo exigirá algum trabalho; especificamente, a regra da cadeia e a regra do produto. Primeiro, a regra da cadeia precisa ser aplicada a sin (xy) e, em seguida, a regra do produto para o argumento xy. Felizmente, já calculamos essa regra de produto.

Em seguida, simplificando isso dá: y '= cos (xy) (y + xy').

Claramente, esta equação precisa ser resolvida para y ' a fim de determinar como y ' está relacionado a x e y.

Isole todos os termos com y ' de um lado: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Em seguida, fatorar o y ' para obter: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Agora vemos que y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

Simplificação adicional pode ser necessária, mas como nossa função é definida recursivamente, inserir y = sin (xy) provavelmente não resultará em uma solução satisfatória. Nesse caso, mais informações ou um método mais sofisticado para plotar essas equações podem ser úteis.

Primeiro, lembre-se de que a diferenciação implícita depende de uma das variáveis ​​ser uma função da outra. Comumente, vemos as funções como y = f (x), mas pode-se escrever uma função x = f (y). Tenha cuidado ao abordar esses problemas para determinar qual variável é dependente da outra.

Em seguida, lembre-se de aplicar cuidadosamente as regras derivadas. A diferenciação implícita exigirá a regra da cadeia com muita frequência, bem como a regra do produto e a regra do quociente. A aplicação correta desses métodos será essencial para determinar a resposta final.

Finalmente, resolva a derivada desejada isolando-a e simplificando as expressões tanto quanto possível.