Funkcje matematyczne są potężnymi narzędziami dla biznesu, inżynierii i nauk ścisłych, ponieważ mogą działać jako miniaturowe modele zjawisk ze świata rzeczywistego. Aby zrozumieć funkcje i relacje, musisz trochę zagłębić się w pojęcia takie jak zbiory, pary uporządkowane i relacje. Funkcja jest szczególnym rodzajem relacji, która ma tylko jednątakwartość dla danegoxwartość. Istnieją inne rodzaje relacji, które wyglądają jak funkcje, ale nie spełniają ścisłej definicji jednej z nich.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Relacja to zbiór liczb zorganizowanych w pary. Funkcja jest szczególnym rodzajem relacji, która ma tylko jednątakwartość dla danegoxwartość.
Zbiory, uporządkowane pary i relacje
Aby opisać relacje i funkcje, warto najpierw omówić zbiory i pary uporządkowane. W skrócie, zbiór liczb jest ich zbiorem, zwykle zawartym w nawiasach klamrowych, takich jak {15,1, 2/3} lub {0,.22}. Zazwyczaj definiujesz zestaw za pomocą reguły, takiej jak wszystkie liczby parzyste od 2 do 10, włącznie: {2,4,6,8,10}.
Zbiór może mieć dowolną liczbę elementów lub w ogóle ich nie mieć, to znaczy zestaw pusty {}. Para uporządkowana to grupa dwóch liczb ujętych w nawiasy, takich jak (0,1) i (45, −2). Dla wygody możesz nazwać pierwszą wartość w uporządkowanej parzexwartość, a drugitakwartość. Relacja organizuje uporządkowane pary w zestaw. Na przykład zbiór {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} jest relacją. Możesz wykreślićxitakwartości relacji na wykresie z wykorzystaniemxitakosie.
Relacje i funkcje
Funkcja jest relacją, w której dowolna danaxwartość ma tylko jedną odpowiadającątakwartość. Można by pomyśleć, że przy zamówionych parach, każdaxma tylko jedentakwartość mimo wszystko. Jednak w przykładzie relacji podanej powyżej zwróć uwagę, żexwartości 1 i 2 mają po dwa odpowiadającetakwartości, odpowiednio 0 i 5 oraz 10 i 15. Ta relacja nie jest funkcją. Reguła nadaje relacji funkcji definitywność, która w innym przypadku nie istnieje, pod względemxwartości. Możesz zapytać, kiedyxto 1, co to jesttakwartość? Dla powyższej relacji pytanie nie ma jednoznacznej odpowiedzi; może to być 0, 5 lub oba.
Teraz zbadaj przykład relacji, która jest prawdziwą funkcją: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}.xwartości nie są nigdzie powtarzane. Jako inny przykład spójrz na {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Trochętakwartości są powtarzane, ale nie narusza to reguły. Nadal można powiedzieć, że gdy wartośćxwynosi 0,takto zdecydowanie 5.
Funkcje graficzne: Test linii pionowej
Możesz stwierdzić, czy relacja jest funkcją, wykreślając liczby na wykresie i stosując test linii pionowej. Jeśli żadna pionowa linia przechodząca przez wykres nie przecina go w więcej niż jednym punkcie, relacja jest funkcją.
Funkcje jako równania
Zapisanie zestawu uporządkowanych par jako funkcji jest łatwym przykładem, ale szybko staje się nużące, gdy masz więcej niż kilka liczb. Aby rozwiązać ten problem, matematycy piszą funkcje w postaci równań, takich jak
y = x^2 - 2x + 3
Korzystając z tego zwartego równania, możesz wygenerować dowolną liczbę uporządkowanych par: Wprowadź różne wartości dlax, policz i wyjdźtakwartości.
Rzeczywiste wykorzystanie funkcji
Wiele funkcji służy jako modele matematyczne, pozwalające ludziom uchwycić szczegóły zjawisk, które w przeciwnym razie pozostałyby tajemnicze. Weźmy prosty przykład, równanie odległości dla spadającego obiektu to
d = \frac{1}{2} g t^2
gdzietto czas w sekundach isolto przyspieszenie ziemskie. Podłącz 9.8 dla grawitacji ziemskiej w metrach na sekundę do kwadratu, a możesz znaleźć odległość, na jaką obiekt spadł w dowolnej wartości czasu. Zauważ, że pomimo całej swojej użyteczności modele mają ograniczenia. Przykładowe równanie działa dobrze w przypadku upuszczenia stalowej kulki, ale nie pióra, ponieważ powietrze spowalnia pióro.
