W sekwencji geometrycznej każdy wyraz jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez stały, niezerowy mnożnik zwany współczynnikiem wspólnym. Sekwencje geometryczne mogą mieć ustaloną liczbę wyrazów lub mogą być nieskończone. W obu przypadkach wyrazy ciągu geometrycznego mogą szybko stać się bardzo duże, bardzo ujemne lub bardzo bliskie zeru. W porównaniu z ciągami arytmetycznymi terminy zmieniają się znacznie szybciej, ale podczas gdy arytmetyka nieskończona ciągi stale rosną lub maleją, ciągi geometryczne mogą zbliżać się do zera, w zależności od wspólnego czynnik.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Sekwencja geometryczna to uporządkowana lista liczb, w której każdy wyraz jest iloczynem wyrazu poprzedniego i ustalonego, niezerowego mnożnika zwanego wspólnym dzielnikiem. Każdy wyraz ciągu geometrycznego jest średnią geometryczną wyrazów poprzedzających go i następujących po nim. Nieskończone ciągi geometryczne ze wspólnym współczynnikiem między +1 i -1 zbliżają się do granicy zera jako wyrazy są dodawane, gdy sekwencje ze wspólnym współczynnikiem większym niż +1 lub mniejszym niż -1 idą do plus lub minus nieskończoność.
Jak działają sekwencje geometryczne
Sekwencja geometryczna jest określona przez swój numer początkowyza, wspólny czynnikri liczba terminówS. Odpowiednia ogólna postać ciągu geometrycznego to:
a, ar, ar^2, ar^3,..., ar^{S-1}
Ogólna formuła terminunieciągu geometrycznego (tj. dowolnego terminu w tym ciągu) to:
a_n = ar^{n-1}
Formuła rekurencyjna, która definiuje pojęcie w stosunku do poprzedniego, to:
a_n = ra_{n-1}
Przykładem ciągu geometrycznego o numerze początkowym 3, wspólnym dzielniku 2 i ośmiu wyrazach jest 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Obliczając ostatni termin przy użyciu podanej powyżej ogólnej formy, terminem jest:
a_8 = 3 × 2^{8-1} = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384
Używając ogólnego wzoru na termin 4:
a_4 = 3 × 2^{4-1} = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24
Jeśli chcesz użyć formuły rekurencyjnej dla termu 5, to term 4 = 24, a a5 równa się:
a_5= 2 × 24 = 48
Właściwości sekwencji geometrycznej
Ciągi geometryczne mają szczególne właściwości, jeśli chodzi o średnią geometryczną. Średnia geometryczna dwóch liczb jest pierwiastkiem kwadratowym ich iloczynu. Na przykład średnia geometryczna z 5 i 20 wynosi 10, ponieważ iloczyn 5 × 20 = 100, a pierwiastek kwadratowy ze 100 wynosi 10.
W ciągach geometrycznych każdy wyraz jest średnią geometryczną wyrazu przed nim i wyrazu po nim. Na przykład w sekwencji 3, 6, 12... powyżej 6 to średnia geometryczna z 3 i 12, 12 to średnia geometryczna z 6 i 24, a 24 to średnia geometryczna z 12 i 48.
Inne własności ciągów geometrycznych zależą od wspólnego czynnika. Jeśli wspólny czynnikrjest większe niż 1, nieskończone ciągi geometryczne będą zbliżać się do dodatniej nieskończoności. Gdybyrwynosi od 0 do 1, sekwencje zbliżają się do zera. Gdybyrwynosi od zera do -1, sekwencje zbliżają się do zera, ale terminy będą się zmieniać między wartościami dodatnimi i ujemnymi. Gdybyrjest mniejsza niż -1, warunki będą dążyć do zarówno dodatniej, jak i ujemnej nieskończoności, ponieważ zmieniają się między wartościami dodatnimi i ujemnymi.
Sekwencje geometryczne i ich właściwości są szczególnie przydatne w naukowych i matematycznych modelach procesów w świecie rzeczywistym. Użycie określonych sekwencji może pomóc w badaniu populacji, które rosną w stałym tempie w określonym czasie lub inwestycji, które są oprocentowane. Formuły ogólne i rekurencyjne umożliwiają przewidywanie dokładnych wartości w przyszłości na podstawie punktu początkowego i współczynnika wspólnego.