Gdy zaczniesz rozwiązywać równania algebraiczne, które zawierają wielomiany, umiejętność rozpoznawania specjalnych, łatwo rozkładających się na czynniki form wielomianów staje się bardzo przydatna. Jednym z najbardziej użytecznych do zauważenia wielomianów „łatwych współczynników” jest idealny kwadrat lub trójmian, który wynika z kwadratury dwumianu. Po zidentyfikowaniu idealnego kwadratu rozłożenie go na poszczególne elementy jest często istotną częścią procesu rozwiązywania problemów.
Zanim rozłożysz idealny trójmian kwadratowy, musisz nauczyć się go rozpoznawać. Idealny kwadrat może przybrać jedną z dwóch form
a^2 + 2ab + b^2 \text{, który jest iloczynem } (a + b)(a + b) = (a + b)^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 \text {, który jest iloczynem } (a - b)(a - b) = (a - b)^2
Sprawdź pierwszy i trzeci wyraz trójmianu. Czy to oba kwadraty? Jeśli tak, dowiedz się, czego są kwadratami. Na przykład w drugim przykładzie "rzeczywistym" podanym powyżej:
r^2 - 2 lata + 1
termintak2 jest oczywiście kwadratemtak.Wyrażenie 1 jest, być może mniej oczywiste, kwadratem 1, ponieważ 12 = 1.
Pomnóż razem pierwiastki pierwszego i trzeciego wyrazu. Kontynuując przykład, to jesttaki 1, co dajetak × 1 = 1taklub po prostutak.
Następnie pomnóż swój produkt przez 2. Kontynuując przykład, masz 2tak.
Na koniec porównaj wynik ostatniego kroku ze środkowym wyrazem wielomianu. Czy pasują? W wielomianutak2 – 2tak+ 1, robią. (Znak jest nieistotny; byłby to również mecz, gdyby średni termin wynosił +2tak.)
Ponieważ odpowiedź w kroku 1 brzmiała „tak”, a wynik z kroku 2 pasuje do środkowego wyrazu wielomianu, wiesz, że patrzysz na doskonały trójmian kwadratowy.
Kiedy już wiesz, że patrzysz na doskonały trójmian kwadratowy, proces rozkładania go na czynniki jest dość prosty.
Zidentyfikuj pierwiastki lub liczby do kwadratu w pierwszym i trzecim członie trójmianu. Rozważ inny z twoich przykładowych trójmianów, o których już wiesz, że jest idealnym kwadratem:
x^2 + 8x + 16
Oczywiście liczba podnoszona do kwadratu w pierwszym członie tox. Liczba do kwadratu w trzecim członie to 4, ponieważ 42 = 16.
Pomyśl o wzorach na idealne trójmiany kwadratowe. Wiesz, że Twoje czynniki przyjmą formę (za + b)(za + b) lub formularz (za – b)(za – b), gdziezaibto liczby do kwadratu w pierwszym i trzecim wyrazie. Możesz więc zapisać swoje czynniki w ten sposób, na razie pomijając znaki w środku każdego terminu:
(\,? \,b)(a \,? \,b) = a^2 \,?\, 2ab + b^2
Aby kontynuować przykład, podstawiając pierwiastki twojego obecnego trójmianu, masz:
(x \,?\, 4)(x \, ?\, 4) = x^2 + 8x + 16
Sprawdź środkowy wyraz trójmianu. Czy ma znak dodatni czy ujemny (albo, inaczej mówiąc, jest dodawany lub odejmowany)? Jeśli ma znak dodatni (lub jest dodawany), to oba czynniki trójmianu mają pośrodku znak plus. Jeśli ma znak ujemny (lub jest odejmowany), oba czynniki mają pośrodku znak ujemny.
Środkowy wyraz bieżącego przykładowego trójmianu to 8x– to jest pozytywne – więc teraz rozłożyłeś na czynniki idealny trójmian kwadratowy:
(x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x + 16
Sprawdź swoją pracę, mnożąc oba czynniki. Zastosowanie FOLII lub pierwszej, zewnętrznej, wewnętrznej, ostatniej metody daje:
x^2 + 4x + 4x + 16
Uproszczenie daje wynikx2 + 8x+ 16, co odpowiada Twojemu trójmianowi. Czyli czynniki są prawidłowe.