Istnieje ważna duża różnica między znalezieniem pionowej asymptoty (s) wykresu funkcji wymiernej, a znalezieniem dziury w wykresie tej funkcji. Nawet z nowoczesnymi kalkulatorami graficznymi, które posiadamy, bardzo trudno jest dostrzec lub zidentyfikować dziurę w wykresie. Ten artykuł pokaże, jak zidentyfikować zarówno analitycznie, jak i graficznie.
Użyjemy danej funkcji wymiernej jako przykładu, aby pokazać analitycznie, jak znaleźć pionową asymptotę i dziurę w wykresie tej funkcji. Niech funkcja racjonalna będzie,... f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6).
Faktoryzacja mianownika f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6). Otrzymujemy następującą równoważną funkcję, f (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)]. Teraz, jeśli Mianownik (x-2)(x-3) = 0, to funkcja wymierna będzie niezdefiniowana, czyli w przypadku dzielenia przez zero (0). Zobacz artykuł „Jak dzielić przez zero (0)”, napisany przez tego samego autora, Z-MATH.
Zauważymy, że dzielenie przez zero jest niezdefiniowane tylko wtedy, gdy wyrażenie wymierne ma licznik, który nie jest równy zero (0), a mianownik jest równy zero (0), w tym przypadku wykres funkcji będzie przebiegał bez ograniczeń w kierunku dodatniej lub ujemnej nieskończoności przy wartości x, która powoduje, że wyrażenie Mianownik jest równe zero. W tym miejscu x rysujemy linię pionową, zwaną Asymptotą pionową.
Teraz, jeśli licznik i mianownik wyrażenia wymiernego są równe zero (0), dla tej samej wartości x, wtedy Mówi się, że dzielenie przez zero przy tej wartości x jest „bez znaczenia” lub nieokreślone, i mamy dziurę na wykresie przy tej wartości x.
Tak więc w funkcji wymiernej f (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)] widzimy, że przy x=2 lub x=3 mianownik jest równy zero (0 ). Ale przy x=3 zauważamy, że Licznik jest równy ( 1 ), czyli f (3) = 1/0, stąd pionowa asymptota przy x = 3. Ale przy x=2 mamy f (2) = 0/0, „bez znaczenia”. Na wykresie jest dziura przy x = 2.
Możemy znaleźć współrzędne dziury, znajdując równoważną funkcję wymierną do f (x), która ma wszystkie te same punkty f (x), z wyjątkiem punktu w x=2. To znaczy, niech g (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)], x ≠ 2, więc redukując do najniższych wartości mamy g (x) = 1/(x- 3). Podstawiając x=2, do tej funkcji otrzymujemy g (2) = 1/(2-3) = 1/(-1) = -1. więc otwór na wykresie f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6), jest w (2,-1).
Rzeczy, których będziesz potrzebować
- Papier i
- Ołówek.