Pierwiastki wielomianu nazywane są również jego zerami, ponieważ pierwiastki toxwartości, przy których funkcja jest równa zeru. Jeśli chodzi o znalezienie korzeni, masz do dyspozycji wiele technik; faktoring jest metodą, której będziesz używać najczęściej, chociaż tworzenie wykresów również może być przydatne.
Ile korzeni?
Zbadaj wyraz najwyższego stopnia wielomianu – to znaczy wyraz o najwyższym wykładniku. Ten wykładnik określa liczbę pierwiastków wielomianu. Więc jeśli najwyższy wykładnik w twoim wielomianu wynosi 2, będzie miał dwa pierwiastki; jeśli najwyższy wykładnik wynosi 3, będzie miał trzy pierwiastki; i tak dalej.
Ostrzeżenia
-
Jest pewien haczyk: Korzenie wielomianu mogą być rzeczywiste lub urojone. Pierwiastki „rzeczywiste” to elementy zbioru znanego jako liczby rzeczywiste, które w tym momencie twojej kariery matematycznej są każdą liczbą, z którą masz do czynienia. Opanowanie liczb urojonych to zupełnie inny temat, więc na razie pamiętaj tylko o trzech rzeczach:
- Korzenie „urojone” pojawiają się, gdy masz pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Na przykład √(-9).
- Wyimaginowane korzenie zawsze występują parami.
- Pierwiastki wielomianu mogą być rzeczywiste lub urojone. Więc jeśli masz wielomian piątego stopnia, może on mieć pięć pierwiastków rzeczywistych, może mieć trzy pierwiastki rzeczywiste i dwa pierwiastki urojone i tak dalej.
Znajdź pierwiastki według faktoringu: przykład 1
Najbardziej wszechstronnym sposobem znajdowania pierwiastków jest rozkładanie wielomianu na czynniki tak bardzo, jak to możliwe, a następnie ustawianie każdego wyrazu na zero. Ma to o wiele więcej sensu, gdy prześledzisz kilka przykładów. Rozważ prosty wielomianx2 – 4x:
Krótkie badanie pokazuje, że możesz rozłożyćxz obu wyrazów wielomianu, co daje:
x (x - 4)
Ustaw każdy termin na zero. Oznacza to rozwiązywanie dwóch równań:
x = 0
jest pierwszym terminem ustawionym na zero, a
x-4 = 0
jest drugim terminem ustawionym na zero.
Masz już rozwiązanie na pierwszy semestr. Gdybyx= 0, to całe wyrażenie jest równe zeru. Więcx= 0 jest jednym z pierwiastków lub zer wielomianu.
Rozważmy teraz drugi termin i rozwiążmy dlax. Jeśli dodasz 4 po obu stronach, otrzymasz:
x - 4 + 4 = 0 + 4
co upraszcza:
x = 4
Więc jeślix= 4 to drugi czynnik jest równy zero, co oznacza, że cały wielomian też jest równy zero.
Ponieważ oryginalny wielomian był drugiego stopnia (najwyższy wykładnik to dwa), wiesz, że istnieją tylko dwa możliwe pierwiastki dla tego wielomianu. Znalazłeś już oba, więc wystarczy je wymienić:
x = 0, x = 4
Znajdź pierwiastki według faktoringu: przykład 2
Oto jeszcze jeden przykład, jak znaleźć pierwiastki przez faktoryzację, używając po drodze jakiejś fantazyjnej algebry. Rozważ wielomianx4 – 16. Szybkie spojrzenie na jego wykładniki pokazuje, że dla tego wielomianu powinny być cztery pierwiastki; teraz nadszedł czas, aby je znaleźć.
Czy zauważyłeś, że ten wielomian można przepisać jako różnicę kwadratów? Więc zamiastx4 – 16, masz:
(x^2)^2 - 4^2
Które, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, uwzględnia następujące czynniki:
(x^2 - 4)(x^2 + 4)
Pierwszy wyraz to znowu różnica kwadratów. Więc chociaż nie możesz dalej rozkładać terminu po prawej stronie, możesz rozłożyć termin po lewej o jeden krok dalej:
(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
Teraz nadszedł czas, aby znaleźć zera. Szybko staje się jasne, że jeślix= 2, pierwszy czynnik będzie równy zero, a zatem całe wyrażenie będzie równe zero.
Podobnie, jeślix= -2, drugi czynnik będzie równy zero, a zatem całe wyrażenie.
Więcx= 2 ix= -2 to oba zera lub pierwiastki tego wielomianu.
Ale co z ostatnim semestrem? Ponieważ ma wykładnik „2”, powinien mieć dwa pierwiastki. Ale nie możesz rozłożyć tego wyrażenia na czynniki, używając liczb rzeczywistych, do których jesteś przyzwyczajony. Musiałbyś użyć bardzo zaawansowanej koncepcji matematycznej zwanej liczbami urojonymi lub, jeśli wolisz, liczbami zespolonymi. To znacznie wykracza poza zakres twojej obecnej praktyki matematycznej, więc na razie wystarczy zauważyć, że masz dwa pierwiastki rzeczywiste (2 i −2) oraz dwa pierwiastki urojone, które zostawisz niezdefiniowane.
Znajdź korzenie za pomocą wykresów
Możesz również znaleźć lub przynajmniej oszacować pierwiastki za pomocą wykresów. Każdy pierwiastek reprezentuje miejsce, w którym wykres funkcji przecinaxoś. Więc jeśli wykreślisz linię, a następnie zanotujeszxwspółrzędne, w których linia przecinaxoś, możesz wstawić szacunkowąxwartości tych punktów do równania i sprawdź, czy masz je poprawne.
Rozważmy pierwszy przykład, na którym pracowałeś, dla wielomianux2 – 4x. Jeśli narysujesz go ostrożnie, zobaczysz, że linia przecinaxoś wx= 0 ix= 4. Jeśli wprowadzisz każdą z tych wartości do oryginalnego równania, otrzymasz:
0^2 - 4(0) = 0
więcx= 0 było prawidłowym zerem lub pierwiastkiem dla tego wielomianu.
4^2 - 4(4) = 0
więcx= 4 jest również prawidłowym zerem lub pierwiastkiem dla tego wielomianu. A ponieważ wielomian był stopnia 2, wiesz, że możesz przestać szukać po znalezieniu dwóch pierwiastków.