Równania są prawdziwe, jeśli obie strony są takie same. Właściwości równań ilustrują różne koncepcje, dzięki którym obie strony równania są takie same, niezależnie od tego, czy dodajesz, odejmujesz, mnożysz czy dzielisz. W algebrze litery oznaczają liczby, których nie znasz, a własności są zapisywane w literach, aby udowodnić, że jakiekolwiek liczby, które do nich włożysz, zawsze okażą się prawdziwe. Możesz myśleć o tych własnościach jako o „regułach algebry”, których możesz użyć do rozwiązywania problemów matematycznych.
Właściwości asocjacyjne i przemienne
Własności asocjacyjne i przemienne oba mają formuły dodawania i mnożenia.przemienność dodawaniamówi, że jeśli dodasz dwie liczby, nie ma znaczenia, w jakiej kolejności je umieścisz. Na przykład 4 + 5 to to samo co 5 + 4. Formuła to:
a + b = b + a
Wszelkie liczby, do których się podłączaszzaibnadal sprawi, że właściwość będzie prawdziwa.
przemienność mnożeniaformuła czyta
a × b = b × a
Oznacza to, że przy mnożeniu dwóch liczb nie ma znaczenia, jaką liczbę wpiszesz jako pierwszą. Nadal otrzymasz 10, jeśli pomnożysz 2 × 5 lub 5 × 2.
asocjacyjna własność dodawaniamówi, że jeśli zgrupujesz dwa numery i dodasz je, a następnie dodasz trzeci numer, nie ma znaczenia, jakiego grupowania użyjesz. W formie formuły wygląda to tak:
(a + b) + c = a + (b + c)
Na przykład
\text{ if } (2 + 3) + 4 = 9 \text{ wtedy } 2 + (3 + 4) = 9
Podobnie, jeśli pomnożysz dwie liczby, a następnie pomnożysz ten iloczyn przez trzecią liczbę, nie ma znaczenia, które dwie liczby pomnożysz jako pierwsze. W formie formułyasocjacyjna własność mnożeniawygląda jak
(a × b) c = a (b × c)
Na przykład (2 × 3)4 upraszcza się do 6 × 4, co równa się 24. Jeśli zgrupujesz 2(3 × 4), otrzymasz 2 × 12, a to również da ci 24.
Właściwości matematyczne: przechodnie i rozkłady
własność przechodniamówi, że jeśliza = bib = do, następnieza = do. Ta właściwość jest często używana w podstawieniu algebraicznym. Na przykład,
\text{ if } 4x - 2 = y \text{ i } y = 3x + 4 \text{, to } 4x - 2 = 3x + 4
Jeśli wiesz, że te dwie wartości są sobie równe, możesz znaleźćx. Kiedy już wieszx, możesz rozwiązać zatakJeśli to konieczne.
własność dystrybucyjnapozwala pozbyć się nawiasów, jeśli poza nimi znajduje się termin, np. 2(x− 4). Nawiasy w matematyce oznaczają mnożenie, a rozdzielenie czegoś oznacza przekazanie tego. Tak więc, aby użyć własności rozdzielności do wyeliminowania nawiasów, pomnóż wyraz poza nawiasami przezkażdytermin w nich. Więc pomnożysz 2 ixzdobyć 2x, i pomnożysz 2 i -4, aby otrzymać -8. W uproszczeniu wygląda to tak:
2(x - 4) = 2x - 8
Wzór na własność rozdzielną to
a (b + c) = ab + ac
Możesz również użyć właściwości rozdzielności, aby wyciągnąć wspólny czynnik z wyrażenia. Ta formuła to
ab + ac = a (b + c)
Na przykład w wyrażeniu 3x+ 9, oba terminy są podzielne przez 3. Przeciągnij współczynnik na zewnątrz nawiasów, a resztę pozostaw w środku: 3(x + 3).
Własności algebry dla liczb ujemnych
addytywna właściwość odwrotnamówi, że jeśli dodasz jedną liczbę z jej odwrotną lub ujemną wersją, otrzymasz zero. Na przykład -5 + 5 = 0. W prawdziwym świecie, jeśli jesteś komuś winien 5 dolarów, a potem otrzymujesz 5 dolarów, nadal nie będziesz miał żadnych pieniędzy, ponieważ musisz dać te 5 dolarów, aby spłacić dług. Formuła to
a + (−a) = 0 = (−a) + a
multiplikatywna własność odwrotnamówi, że jeśli pomnożysz liczbę przez ułamek z jedynką w liczniku i tą liczbą w mianowniku, otrzymasz jeden:
a×\frac{1}{a} = 1
Jeśli pomnożysz 2 przez 1/2, otrzymasz 2/2. Każda liczba nad sobą to zawsze 1.
Własności negacjidyktować mnożenie liczb ujemnych. Jeśli pomnożysz liczbę ujemną i dodatnią, Twoja odpowiedź będzie ujemna:
(-a)(b) = -ab \text{ i } -(ab) = -ab
Jeśli pomnożysz dwie liczby ujemne, Twoja odpowiedź będzie pozytywna:
-(-a) = a \text{ i } (-a)(-b) = ab
Jeśli masz negatyw poza nawiasem, ten negatyw jest dołączony do niewidzialnego 1. To -1 jest dystrybuowane do każdego terminu w nawiasach. Formuła to
-(a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
Na przykład
-(x - 3) = -x + 3
ponieważ pomnożenie -1 i -3 daje 3.
Właściwości zera
własność tożsamości dodawaniastwierdza, że jeśli dodasz dowolną liczbę i zero, otrzymasz oryginalną liczbę:
a + 0 = a
Na przykład,
4 + 0 = 4
multiplikatywna własność zeramówi, że gdy pomnożysz dowolną liczbę przez zero, zawsze otrzymasz zero:
a ×0 = 0
Na przykład
4 × 0 = 0
Używajączerowa właściwość produktu,możesz wiedzieć na pewno, że jeśli iloczyn dwóch liczb wynosi zero, to jedna z wielokrotności wynosi zero. Formuła stwierdza, że
\text{ jeśli } ab = 0\text{, to }a = 0 \text{ lub } b = 0
Właściwości równości
Własności równości mówią, że to, co robisz po jednej stronie równania, musisz zrobić po drugiej.dodawanie własności równościstwierdza, że jeśli masz numer po jednej stronie, musisz dodać go po drugiej. Na przykład,
\text{ jeśli } 5 + 2 = 3 + 4\text{, to } 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
odejmowanie własności równościmówi, że jeśli odejmiesz liczbę z jednej strony, musisz ją odjąć od drugiej. Na przykład,
\text{ jeśli } x + 2 = 2x - 3\text{, to } x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
To by ci dało
x + 1 = 2x - 4
ixrównałoby się 5 w obu równaniach.
mnożenie własności równościmówi, że jeśli pomnożysz liczbę na jedną stronę, musisz ją pomnożyć przez drugą. Ta właściwość umożliwia rozwiązywanie równań podziału. Na przykład, jeśli
\frac{x}{4} = 2
pomnóż obie strony przez 4, aby uzyskaćx = 8.
podział własności równościpozwala rozwiązywać równania mnożenia, ponieważ to, co dzielisz z jednej strony, musisz dzielić z drugiej. Na przykład dziel
2x = 8
o 2 po obu stronach, uginając się
x = 4