Kiedy zaczniesz od trzech równań i trzech niewiadomych (zmiennych), możesz pomyśleć, że masz wystarczająco dużo informacji, aby rozwiązać wszystkie zmienne. Jednak rozwiązując układ równań liniowych metodą eliminacji, może się okazać, że układ the nie jest wystarczająco zdeterminowany, aby znaleźć jedną unikalną odpowiedź, a zamiast tego jest nieskończona liczba rozwiązań możliwy. Dzieje się tak, gdy informacje w jednym z równań w systemie są nadmiarowe w stosunku do informacji zawartych w innych równaniach.
Przykład 2x2
3x+2y=5 6x+4y=10 Ten układ równań jest wyraźnie zbędny. Możesz utworzyć jedno równanie z drugiego, po prostu mnożąc przez stałą. Innymi słowy, przekazują te same informacje. Pomimo istnienia dwóch równań dla dwóch niewiadomych, x i y, rozwiązania tego układu nie można zawęzić do jednej wartości dla x i jednej wartości dla y. (x, y)=(1,1) i (5/3,0) rozwiązują go, podobnie jak wiele innych rozwiązań. Jest to rodzaj „problemu”, ten niedostatek informacji, który prowadzi do nieskończonej liczby rozwiązań również w większych układach równań.
Przykład 3x3
x+y+z=10 x-y+z=0 x_+_z=5 [Podkreślenia służą jedynie do zachowania odstępów.] Metodą eliminacji, usuń x z drugiego rzędu, odejmując drugi rząd od pierwszego, dając x+y+z=10 _2y=10 x_+z=5 Usuń x z trzeciego wiersza, odejmując trzeci wiersz od pierwszego. x+y+z=10 _2y=10 tak=5 Najwyraźniej dwa ostatnie równania są równoważne. y równa się 5, a pierwsze równanie można uprościć, eliminując y. x+5+z=10 y__=5 lub x+z=5 y=5 Zauważ, że metoda eliminacji nie da tutaj ładnego trójkątnego kształtu, jak ma to miejsce w przypadku jednego unikalnego rozwiązania. Zamiast tego ostatnie równanie (jeśli nie więcej) zostanie wchłonięte przez inne równania. System składa się teraz z trzech niewiadomych i tylko dwóch równań. System nazywa się „niedookreślony”, ponieważ nie ma wystarczającej liczby równań, aby określić wartość wszystkich zmiennych. Możliwa jest nieskończona liczba rozwiązań.
Jak napisać nieskończone rozwiązanie
Nieskończone rozwiązanie powyższego systemu można zapisać w postaci jednej zmiennej. Jednym ze sposobów zapisu jest (x, y, z)=(x, 5,5-x). Ponieważ x może przyjmować nieskończoną liczbę wartości, rozwiązanie może przyjmować nieskończoną liczbę wartości.