Wykres punktowy to wykres przedstawiający relacje między dwoma zestawami danych. Czasami pomocne jest wykorzystanie danych zawartych na wykresie punktowym w celu uzyskania matematycznego związku między dwiema zmiennymi. Równanie wykresu punktowego można uzyskać ręcznie, używając jednego z dwóch głównych sposobów: techniki graficznej lub techniki zwanej regresją liniową.
Tworzenie wykresu punktowego
Użyj papieru milimetrowego, aby utworzyć wykres punktowy. Narysuj x- i tak- osie, upewnij się, że przecinają się i oznaczają początek. Upewnij się, że x- i tak- siekiery również mają poprawne tytuły. Następnie wykreśl każdy punkt danych na wykresie. Wszelkie trendy między wykreślonymi zestawami danych powinny być teraz widoczne.
Linia najlepszego dopasowania
Po utworzeniu wykresu punktowego, zakładając, że istnieje liniowa korelacja między dwoma zestawami danych, możemy użyć metody graficznej, aby uzyskać równanie. Weź linijkę i narysuj linię jak najbliżej wszystkich punktów. Postaraj się, aby nad linią znajdowało się tyle punktów, ile pod nią. Po narysowaniu linii użyj standardowych metod, aby znaleźć równanie linii prostej
Równanie linii prostej
Po umieszczeniu linii najlepszego dopasowania na wykresie punktowym łatwo jest znaleźć równanie. Ogólne równanie linii prostej to:
y = mx + c
Gdzie m jest nachyleniem (gradientem) linii i do jest tak-przechwycić. Aby uzyskać gradient, znajdź dwa punkty na linii. Na potrzeby tego przykładu załóżmy, że te dwa punkty to (1,3) i (0,1). Gradient można obliczyć, biorąc różnicę we współrzędnych y i dzieląc przez różnicę we x-współrzędne:
m = \frac{3 - 1}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2
Gradient w tym przypadku jest równy 2. Jak dotąd równanie linii prostej to
y = 2x + c
Wartość dla do można uzyskać, podstawiając wartości do znanego punktu. Idąc za przykładem, jednym ze znanych punktów jest (1,3). Podłącz to do równania i zmień kolejność dla do:
3 = (2 × 1) + c \\ c = 3 - 2 = 1
Ostateczne równanie w tym przypadku to:
y = 2x + 1
Regresja liniowa
Regresja liniowa to metoda matematyczna, której można użyć do uzyskania równania liniowego wykresu punktowego. Zacznij od umieszczenia danych w tabeli. W tym przykładzie załóżmy, że mamy następujące dane:
(4.1, 2.2) (6.5, 4.5) (12.6, 10.4)
Oblicz sumę wartości x:
x_{suma} = 4,1 + 6,5 + 12,6 = 23,2
Następnie oblicz sumę wartości y:
y_{suma} = 2,2 + 4,4 + 10,4 = 17
Teraz zsumuj iloczyny każdego zestawu punktów danych:
xy_{suma} = (4,1 × 2,2) + (6,5 × 4,4) + (12,6 × 10,4) = 168,66
Następnie oblicz sumę wartości x do kwadratu i wartości y do kwadratu:
x^2_{suma} = (4,1^2) + (6,5^2) + (12,6^2) = 217,82
y^2_{suma} = (2,2^2) + (4,5^2) + (10,4^2) = 133,25
Na koniec policz liczbę posiadanych punktów danych. W tym przypadku mamy trzy punkty danych (N=3). Gradient dla najlepiej dopasowanej linii można uzyskać z:
m = \frac{(N × xy_{suma}) - (x_{suma} × y_{suma})}{(N × x^2_{suma}) - (x_{suma} × x_{suma})} \\ \, \\ = \frac{(3 × 168,66) - (23,2 × 17)}{(3 × 217,82) - (23,2 × 23,2)} \\ \, \\ = 0,968
Punkt przecięcia dla najlepiej dopasowanej linii można uzyskać z:
\begin{wyrównane} c &= \frac{(x^2_{suma} × y_{suma} ) - (x_{suma} × xy_{suma})}{(N × x^2_{suma}) - ( x_{suma} × x_{suma})} \\ \,\\ &= \frac{ (217,82 × 17) - (23,2 × 168,66)}{(3 × 217.82) - (23,2 × 23,2)} \\ \,\\ &= -1,82 \end{wyrównany}
Ostateczne równanie to zatem:
y = 0,968x - 1,82