W matematyce pojawia się czasami potrzeba udowodnienia, czy funkcje są zależne, czy niezależne od siebie w sensie liniowym. Jeśli masz dwie funkcje, które są zależne liniowo, wykres równań tych funkcji daje punkty, które się nakładają. Funkcje z niezależnymi równaniami nie nakładają się na wykresie. Jedną z metod określania, czy funkcje są zależne, czy niezależne, jest obliczenie wrońskiego dla funkcji.
Kim jest Wroński?
Wroński współczynnik dwóch lub więcej funkcji jest tzw. wyznacznikiem, czyli specjalną funkcją używaną do porównywania obiektów matematycznych i udowadniania pewnych faktów na ich temat. W przypadku wrońskiego wyznacznika służy do udowodnienia zależności lub niezależności między dwiema lub więcej funkcjami liniowymi.
Wrońska matryca
Aby obliczyć Wroński dla funkcji liniowych, funkcje muszą być rozwiązane dla tej samej wartości w macierzy zawierającej zarówno funkcje, jak i ich pochodne. Przykładem tego jest
W(f, g)(t)=\begin{vmatryca} f (t) & g (t) \\ f'(t) & g'(t) \end{vmatryca}
co zapewnia Wrońskian dla dwóch funkcji (faisol), które są rozwiązywane dla pojedynczej wartości większej od zera (t); możesz zobaczyć dwie funkcjefa(t) isol(t) w górnym wierszu macierzy, a pochodnefa'(t) isol'(t) w dolnym wierszu. Zwróć uwagę, że Wrońskian może być również używany do większych zestawów. Jeśli na przykład testujesz trzy funkcje za pomocą wrońskiego, możesz wypełnić macierz funkcjami i pochodnymifa(t), sol(t) ih(t).
Rozwiązywanie wrońskiego
Po ułożeniu funkcji w macierzy, pomnóż krzyżowo każdą funkcję przez pochodną drugiej funkcji i odejmij pierwszą wartość od drugiej. W powyższym przykładzie daje to
W(f, g)(t) = f (t) g'(t) - g (t) f'(t)
Jeśli ostateczna odpowiedź jest równa zeru, oznacza to, że te dwie funkcje są zależne. Jeśli odpowiedź jest inna niż zero, funkcje są niezależne.
Przykład wroński
Aby lepiej zrozumieć, jak to działa, załóżmy, że
f (t) = x + 3 \text{ i } g (t) = x - 2
Używając wartościt= 1, możesz rozwiązać funkcje jako
f (1) = 4 \text{ i } g (1) = -1
Ponieważ są to podstawowe funkcje liniowe o nachyleniu równym 1, pochodne obufa(t) isol(t) równe 1. Mnożenie wartości krzyżowych daje
W(f, g)(1) = (4+1) - (-1+1)
co daje wynik końcowy 5. Chociaż obie funkcje liniowe mają to samo nachylenie, są one niezależne, ponieważ ich punkty się nie nakładają. Gdybyfa(t) dał wynik -1 zamiast 4, Wroński dałby wynik zero zamiast wskazywać zależność.