Wyrażenia wymierne wydają się bardziej skomplikowane niż podstawowe liczby całkowite, ale zasady ich mnożenia i dzielenia są łatwe do zrozumienia. Niezależnie od tego, czy masz do czynienia ze skomplikowanym wyrażeniem algebraicznym, czy z prostym ułamkiem, zasady mnożenia i dzielenia są w zasadzie takie same. Gdy nauczysz się, czym są wyrażenia wymierne i jak odnoszą się do zwykłych ułamków, będziesz w stanie z pewnością je mnożyć i dzielić.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych działa tak samo, jak mnożenie i dzielenie ułamków. Aby pomnożyć dwa wyrażenia wymierne, pomnóż liczniki razem, a następnie pomnóż mianowniki.
Aby podzielić jedno wyrażenie wymierne przez drugie, postępuj zgodnie z tymi samymi zasadami, co przy dzieleniu jednej frakcji przez drugą. Najpierw odwróć ułamek w dzielniku (przez który dzielisz) do góry nogami, a następnie pomnóż go przez ułamek w dzielnej (którą dzielisz).
Co to jest racjonalne wyrażenie?
Termin „wyrażenie wymierne” opisuje ułamek, w którym licznik i mianownik są wielomianami. Wielomian to wyrażenie takie jak
2x^2 + 3x + 1
składa się ze stałych, zmiennych i wykładników (które nie są ujemne). Następujące wyrażenie:
\frac{x + 5}{x^2 - 4}
Podaje przykład wyrażenia wymiernego. To w zasadzie ma postać ułamka, tylko z bardziej skomplikowanym licznikiem i mianownikiem. Zauważ, że wyrażenia wymierne są poprawne tylko wtedy, gdy mianownik nie jest równy zero, więc powyższy przykład jest poprawny tylko wtedy, gdyx ≠ 2.
Mnożenie wyrażeń wymiernych
Mnożenie wyrażeń wymiernych podlega zasadniczo tym samym zasadom, co mnożenie dowolnego ułamka. Kiedy mnożysz ułamek, mnożysz jeden licznik przez drugi i jeden mianownik przez drugi, a kiedy mnożysz wyrażeń wymiernych mnożysz jeden cały licznik przez drugi licznik i cały mianownik przez drugi mianownik.
Dla ułamka piszesz:
\begin{aligned} \frac{2}{5} × \frac{4}{7} &= \frac{2 × 4}{5 × 7} \\ \,\\ &= \frac{8}{ 35} \end{wyrównany}
W przypadku dwóch wyrażeń wymiernych używasz tego samego podstawowego procesu:
\begin{aligned} \frac{x + 5}{x - 4} × \frac{x}{x + 1} &= \frac{(x + 5) × x}{(x - 4) × (x + 1)} \\ \,\\ &= \frac{x^2 + 5x}{x^2 -4x + x - 4} \\ \,\\ &= \frac{x^2 + 5x}{ x^2 - 3x - 4} \end{wyrównany}
Kiedy mnożysz liczbę całkowitą (lub wyrażenie algebraiczne) przez ułamek, po prostu mnożysz licznik ułamka przez liczbę całkowitą. Dzieje się tak, ponieważ dowolna liczba całkowitaniemożna zapisać jakonie/ 1, a następnie zgodnie ze standardowymi zasadami mnożenia ułamków, współczynnik 1 nie zmienia mianownika. Poniższy przykład ilustruje to:
\begin{aligned} \frac{x + 5}{x^2 - 4} × x &= \frac{x + 5}{x^2 - 4} × \frac{x}{1} \\ \, \\ &= \frac{(x + 5) × x}{(x^2 - 4) × 1}\\ \,\\ =& \frac{x^2 + 5x}{x^2 - 4} \end{wyrównany}
Dzielenie wyrażeń racjonalnych
Podobnie jak mnożenie wyrażeń wymiernych, dzielenie wyrażeń wymiernych podlega tym samym podstawowym zasadom, co dzielenie ułamków. Kiedy dzielisz dwa ułamki, jako pierwszy krok odwracasz drugi ułamek do góry nogami, a następnie mnożysz. Więc:
\begin{aligned} \frac{4}{5} ÷ \frac{3}{2} &= \frac{4}{5} × \frac{2}{3} \\ \,\\ &= \ frac{4 × 2}{5 × 3} \\ \,\\ &= \frac{8}{15} \end{aligned}
Dzielenie dwóch wyrażeń wymiernych działa w ten sam sposób, więc:
\begin{aligned} \frac{x + 3}{2x^2} ÷ \frac{4}{3x} &= \frac{x + 3}{2x^2} × \frac{3x}{4} \ \ \,\\ &= \frac{(x + 3) × 3x}{2x^2 × 4} \\ \,\\ &= \frac{3x^2 + 9x}{8x^2} \end{ wyrównane}
To wyrażenie można uprościć, ponieważ istnieje czynnikx(włącznie zx2) w obu kategoriach w liczniku i współczynnikux2 w mianowniku. Jeden zestawxs mogą anulować, aby podać:
\begin{wyrównane} \frac{3x^2 + 9x}{8x^2} &= \frac{x (3x + 9)} {8x^2} \\ &= \frac{3x + 9}{8x} \end{wyrównany}
Wyrażenia można uprościć tylko wtedy, gdy można usunąć czynnik z całego wyrażenia na górze i na dole, jak powyżej. Następujące wyrażenie:
\frac{x - 1}{x}
Nie można uprościć w ten sam sposób, ponieważxw mianowniku dzieli cały wyraz w liczniku. Możesz napisać:
\begin{aligned} \frac{x-1}{x} &= \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \\ &= 1 - \frac{1}{x} \end {wyrównany}
Gdybyś jednak chciał.