Wykładniki ułamkowe: zasady mnożenia i dzielenia

Nauka radzenia sobie z wykładnikami stanowi integralną część każdej edukacji matematycznej, ale na szczęście zasady ich mnożenia i dzielenia odpowiadają zasadom dla wykładników nieułamkowych. Pierwszym krokiem do zrozumienia, jak radzić sobie z wykładnikami ułamkowymi, jest zapoznanie się z tym, czym one dokładnie są, a następnie możesz przyjrzeć się sposobom łączenia wykładników, gdy są mnożone lub dzielone i mają to samo baza. Krótko mówiąc, dodajesz wykładniki razem podczas mnożenia i odejmuje się jeden od drugiego podczas dzielenia, pod warunkiem, że mają tę samą podstawę.

TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)

Pomnóż wyrazy z wykładnikami, stosując ogólną zasadę:

​x^za​ + ​x^b​ = ​x​^{(​za​ + ​b​)}

I podziel wyrazy z wykładnikami, korzystając z reguły:

​x^za ​÷ ​x^b​ = ​x​^{(​za​ – ​b​)}

Te zasady działają z dowolnym wyrażeniem zamiast inzaib, nawet ułamki.

Wykładniki ułamkowe zapewniają zwięzły i użyteczny sposób wyrażania pierwiastków kwadratowych, sześciennych i wyższych. Mianownik na wykładniku mówi, jaki pierwiastek z liczby „podstawowej” reprezentuje dany termin. W terminach takich jak

Mianownik dwóch na wykładniku mówi, że wyciągasz pierwiastek kwadratowy zxw tym wyrażeniu. Ta sama podstawowa zasada dotyczy wyższych korzeni:

I

Ten wzorzec trwa. Na konkretny przykład:

I

Pomnóż wyrazy z wykładnikami ułamkowymi (pod warunkiem, że mają tę samą podstawę), dodając razem wykładniki. Na przykład:

Odx​^1/3 oznacza „pierwiastek sześcienny zx”, ma sens, że to pomnożone przez siebie dwukrotnie daje wynikx. Możesz również natknąć się na przykłady takie jakx​^1/3 × ​x​^1/3, ale radzisz sobie z nimi dokładnie w ten sam sposób:

Fakt, że wyrażenie na końcu jest nadal wykładnikiem ułamkowym, nie ma znaczenia dla procesu. Można to uprościć, jeśli zauważysz, żex​^2/3 = (​x​^1/3)² = ∛​x​². Przy takim wyrażeniu nie ma znaczenia, czy najpierw bierzesz korzeń, czy moc. Ten przykład ilustruje, jak je obliczyć:

Ponieważ pierwiastek sześcienny z 8 jest łatwy do obliczenia, zajmij się tym w następujący sposób:

Oznacza to więc:

Możesz również napotkać iloczyny wykładników ułamkowych z różnymi liczbami w mianownikach ułamków i możesz dodawać te wykładniki w taki sam sposób, w jaki dodajesz inne ułamki. Na przykład:

Są to wszystkie specyficzne wyrażenia ogólnej zasady mnożenia dwóch wyrażeń przez wykładniki:

Zajmij się dzieleniem dwóch liczb za pomocą wykładników ułamkowych, odejmując wykładnik, który dzielisz (dzielnik) od tego, który dzielisz (dzielną). Na przykład:

Ma to sens, ponieważ każda liczba podzielona przez siebie równa się jeden, a to zgadza się ze standardowym wynikiem, że każda liczba podniesiona do potęgi 0 równa się jeden. Następny przykład wykorzystuje liczby jako podstawy i różne wykładniki:

Co możesz również zobaczyć, jeśli zauważysz, że 16^1/2 = 4 i 16^1/4 = 2.

Podobnie jak w przypadku mnożenia, możesz również otrzymać wykładniki ułamkowe, które mają w liczniku liczbę inną niż jeden, ale traktujesz je w ten sam sposób.

Wyrażają one po prostu ogólną zasadę dzielenia wykładników:

Jeśli podstawy na warunkach są różne, nie ma łatwego sposobu na pomnożenie lub podzielenie wykładników. W takich przypadkach wystarczy obliczyć wartość poszczególnych warunków, a następnie wykonać wymaganą operację. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy wykładnik jest taki sam, w którym to przypadku można je pomnożyć lub podzielić w następujący sposób: