Nauka radzenia sobie z wykładnikami stanowi integralną część każdej edukacji matematycznej, ale na szczęście zasady ich mnożenia i dzielenia odpowiadają zasadom dla wykładników nieułamkowych. Pierwszym krokiem do zrozumienia, jak radzić sobie z wykładnikami ułamkowymi, jest zapoznanie się z tym, czym one dokładnie są, a następnie możesz przyjrzeć się sposobom łączenia wykładników, gdy są mnożone lub dzielone i mają to samo baza. Krótko mówiąc, dodajesz wykładniki razem podczas mnożenia i odejmuje się jeden od drugiego podczas dzielenia, pod warunkiem, że mają tę samą podstawę.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Pomnóż wyrazy z wykładnikami, stosując ogólną zasadę:
xza + xb = x(za + b)
I podziel wyrazy z wykładnikami, korzystając z reguły:
xza ÷ xb = x(za – b)
Te zasady działają z dowolnym wyrażeniem zamiast inzaib, nawet ułamki.
Czym są wykładniki ułamkowe?
Wykładniki ułamkowe zapewniają zwięzły i użyteczny sposób wyrażania pierwiastków kwadratowych, sześciennych i wyższych. Mianownik na wykładniku mówi, jaki pierwiastek z liczby „podstawowej” reprezentuje dany termin. W terminach takich jak
xza, ty dzwoniszxpodstawa izawykładnik. Tak więc wykładnik ułamkowy mówi:x^{1/2} = \sqrt{x}
Mianownik dwóch na wykładniku mówi, że wyciągasz pierwiastek kwadratowy zxw tym wyrażeniu. Ta sama podstawowa zasada dotyczy wyższych korzeni:
x^{1/3} = \sqrt[3]{x}
I
x^{1/4} = \sqrt[4]{x}
Ten wzorzec trwa. Na konkretny przykład:
9^{1/2} = \sqrt{9}=3
I
8^{1/3} = \sqrt[3]{8}=2
Reguły dotyczące potęg ułamkowych: mnożenie potęg ułamkowych o tej samej podstawie
Pomnóż wyrazy z wykładnikami ułamkowymi (pod warunkiem, że mają tę samą podstawę), dodając razem wykładniki. Na przykład:
x^{1/3} × x^{1/3} × x^{1/3} = x^{(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x^1 = x
Odx1/3 oznacza „pierwiastek sześcienny zx”, ma sens, że to pomnożone przez siebie dwukrotnie daje wynikx. Możesz również natknąć się na przykłady takie jakx1/3 × x1/3, ale radzisz sobie z nimi dokładnie w ten sam sposób:
x^{1/3} × x^{1/3} = x^{(1/3 + 1/3)} \\ = x^{2/3}
Fakt, że wyrażenie na końcu jest nadal wykładnikiem ułamkowym, nie ma znaczenia dla procesu. Można to uprościć, jeśli zauważysz, żex2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. Przy takim wyrażeniu nie ma znaczenia, czy najpierw bierzesz korzeń, czy moc. Ten przykład ilustruje, jak je obliczyć:
8^{1/3} + 8^{1/3} = 8^{2/3} \\ = (\sqrt[3]{8})^2
Ponieważ pierwiastek sześcienny z 8 jest łatwy do obliczenia, zajmij się tym w następujący sposób:
(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4
Oznacza to więc:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Możesz również napotkać iloczyny wykładników ułamkowych z różnymi liczbami w mianownikach ułamków i możesz dodawać te wykładniki w taki sam sposób, w jaki dodajesz inne ułamki. Na przykład:
\begin{wyrównany} x^{1/4} × x^{1/2} &= x^{(1/4 + 1/2)} \\ &= x^{(1/4 + 2/4 )} \\ &= x^{3/4} \end{wyrównany}
Są to wszystkie specyficzne wyrażenia ogólnej zasady mnożenia dwóch wyrażeń przez wykładniki:
x^a + x^b = x^{(a + b)}
Reguły dotyczące potęg ułamkowych: dzielenie potęg ułamkowych za pomocą tej samej podstawy
Zajmij się dzieleniem dwóch liczb za pomocą wykładników ułamkowych, odejmując wykładnik, który dzielisz (dzielnik) od tego, który dzielisz (dzielną). Na przykład:
x^{1/2} ÷ x^{1/2} = x^{(1/2 - 1/2)} \\ = x^0 = 1
Ma to sens, ponieważ każda liczba podzielona przez siebie równa się jeden, a to zgadza się ze standardowym wynikiem, że każda liczba podniesiona do potęgi 0 równa się jeden. Następny przykład wykorzystuje liczby jako podstawy i różne wykładniki:
\begin{wyrównane} 16^{1/2} ÷ 16^{1/4} &= 16^{(1/2 - 1/4)} \\ &= 16^{(2/4 - 1/4) )} \\ &= 16^{1/4} \\ &= 2 \end{wyrównane}
Co możesz również zobaczyć, jeśli zauważysz, że 161/2 = 4 i 161/4 = 2.
Podobnie jak w przypadku mnożenia, możesz również otrzymać wykładniki ułamkowe, które mają w liczniku liczbę inną niż jeden, ale traktujesz je w ten sam sposób.
Wyrażają one po prostu ogólną zasadę dzielenia wykładników:
x^a ÷ x^b = x^{(a - b)}
Mnożenie i dzielenie potęg ułamkowych w różnych podstawach
Jeśli podstawy na warunkach są różne, nie ma łatwego sposobu na pomnożenie lub podzielenie wykładników. W takich przypadkach wystarczy obliczyć wartość poszczególnych warunków, a następnie wykonać wymaganą operację. Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy wykładnik jest taki sam, w którym to przypadku można je pomnożyć lub podzielić w następujący sposób:
x^4 × y^4 = (xy)^4 \\ x^4 ÷ y^4 = (x ÷ y)^4