3 metody rozwiązywania układów równań

Trzy metody najczęściej używane do rozwiązywania układów równań to macierze podstawienia, eliminacji i macierze rozszerzone. Podstawianie i eliminacja to proste metody, które mogą skutecznie rozwiązać większość układów dwóch równań w kilku prostych krokach. Metoda rozszerzonych macierzy wymaga więcej kroków, ale jej zastosowanie rozciąga się na większą różnorodność systemów.

Podstawianie to metoda rozwiązywania układów równań poprzez usunięcie wszystkich zmiennych oprócz jednej w jednym z równań, a następnie rozwiązanie tego równania. Osiąga się to poprzez wyodrębnienie drugiej zmiennej w równaniu, a następnie podstawienie wartości tych zmiennych w innym równaniu. Na przykład, aby rozwiązać układ równań x + y = 4, 2x - 3y = 3, wyizoluj zmienną x w pierwszym równanie, aby uzyskać x = 4 - y, a następnie podstaw tę wartość y do drugiego równania, aby uzyskać 2(4 - y) - 3y = 3. To równanie upraszcza się do -5y = -5 lub y = 1. Wstaw tę wartość do drugiego równania, aby znaleźć wartość x: x + 1 = 4 lub x = 3.

Eliminacja to kolejny sposób rozwiązywania układów równań poprzez przepisanie jednego z równań pod kątem tylko jednej zmiennej. Metoda eliminacji osiąga to poprzez dodawanie lub odejmowanie od siebie równań w celu usunięcia jednej ze zmiennych. Na przykład dodanie równań x + 2y = 3 i 2x - 2y = 3 daje nowe równanie, 3x = 6 (zauważ, że warunki y zostały zniesione). Układ jest następnie rozwiązywany przy użyciu tych samych metod, co przy podstawieniu. Jeśli niemożliwe jest wykreślenie zmiennych w równaniach, konieczne będzie pomnożenie całego równania przez współczynnik, aby współczynniki były zgodne.

Macierze rozszerzone mogą być również wykorzystywane do rozwiązywania układów równań. Macierz rozszerzona składa się z wierszy dla każdego równania, kolumn dla każdej zmiennej i kolumny rozszerzonej zawierającej człon stały po drugiej stronie równania. Na przykład macierz rozszerzona dla układu równań 2x + y = 4, 2x - y = 0 to [[2 1], [2 -1]...[4, 0]].

Następny krok polega na użyciu elementarnych operacji na wierszach, takich jak mnożenie lub dzielenie wiersza przez stałą inną niż zero oraz dodawanie lub odejmowanie wierszy. Celem tych operacji jest konwersja macierzy do postaci wiersz-echelon, w której pierwszy niezerowy wpis w każdym wierszu to 1, wpisy powyżej i poniżej tego wpisu są same zera, a pierwszy niezerowy wpis dla każdego wiersza jest zawsze na prawo od wszystkich takich wpisów w wierszach ponad tym. Forma wierszowo-schodkowa dla powyższej macierzy to [[1 0], [0 1]...[1, 2]]. Wartość pierwszej zmiennej jest podana w pierwszym wierszu (1x + 0y = 1 lub x = 1). Wartość drugiej zmiennej jest podana w drugim wierszu (0x + 1y = 2 lub y = 2).

Podstawianie i eliminacja są prostszymi metodami rozwiązywania równań i są stosowane znacznie częściej niż macierze rozszerzone w podstawowej algebrze. Metoda podstawienia jest szczególnie przydatna, gdy jedna ze zmiennych jest już wyizolowana w jednym z równań. Metoda eliminacji jest przydatna, gdy współczynnik jednej ze zmiennych jest taki sam (lub jego ujemny odpowiednik) we wszystkich równaniach. Podstawową zaletą macierzy rozszerzonych jest to, że można ich używać do rozwiązywania układów trzech lub więcej równań w sytuacjach, w których podstawianie i eliminacja są albo niemożliwe, albo niemożliwe.