Równania kwadratowe to formuły, które można zapisać w postaci Ax^2 + Bx + C = 0. Czasami równanie kwadratowe można uprościć, rozkładając je na czynniki lub wyrażając je jako iloczyn oddzielnych członów. To może ułatwić rozwiązanie równania. Czynniki mogą być czasami trudne do zidentyfikowania, ale istnieją sztuczki, które mogą ułatwić ten proces.
Zmniejsz równanie o największy wspólny czynnik
Sprawdź równanie kwadratowe, aby określić, czy istnieje liczba i/lub zmienna, która może podzielić każdy człon równania. Rozważmy na przykład równanie 2x^2 + 10x + 8 = 0. Największa liczba, którą można podzielić równo na każdy człon równania, to 2, więc 2 jest największym wspólnym dzielnikiem (GCF).
Podziel każdy wyraz w równaniu przez GCF i pomnóż całe równanie przez GCF. W przykładowym równaniu 2x^2 + 10x + 8 = 0, dałoby to 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0)).
Uprość wyrażenie, uzupełniając podział w każdym semestrze. W końcowym równaniu nie powinno być żadnych ułamków. W tym przykładzie dałoby to 2(x^2 + 5x + 4) = 0.
Poszukaj różnicy kwadratów (jeśli B = 0)
Sprawdź równanie kwadratowe, aby zobaczyć, czy ma ono postać Ax^2 + 0x – C = 0, gdzie A = y^2 i C = z^2. W takim przypadku równanie kwadratowe wyraża różnicę dwóch kwadratów. Na przykład w równaniu 4x^2 + 0x – 9 = 0, A = 4 = 2^2 i C = 9 = 3^2, więc y = 2 iz = 3.
Rozłóż równanie do postaci (yx + z)(yx – z) = 0. W przykładowym równaniu y = 2 iz = 3; dlatego równanie kwadratowe na czynniki to (2x + 3)(2x – 3) = 0. Będzie to zawsze rozłożona na czynniki forma równania kwadratowego, czyli różnica kwadratów.
Szukaj idealnych kwadratów
Sprawdź równanie kwadratowe, aby zobaczyć, czy jest to idealny kwadrat. Jeśli równanie kwadratowe jest idealnym kwadratem, można je zapisać w postaci y^2 + 2yz + z^2, na przykład równanie 4x^2 + 12x + 9 = 0, które można przepisać jako (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2. W tym przypadku y = 2x, a z = 3.
Sprawdź, czy termin 2yz jest dodatni. Jeśli wyraz jest dodatni, współczynnikami idealnego kwadratowego równania kwadratowego są zawsze (y + z)(y + z). Na przykład w powyższym równaniu 12x jest dodatnie, dlatego współczynniki wynoszą (2x + 3) (2x + 3) = 0.
Sprawdź, czy termin 2yz jest ujemny. Jeśli składnik jest ujemny, czynnikami są zawsze (y – z)(y – z). Na przykład, jeśli powyższe równanie zawiera wyraz -12x zamiast 12x, współczynniki wyniosą (2x – 3) (2x – 3) = 0.
Odwrócona metoda mnożenia FOIL (jeśli A = 1)
Ustaw rozkład na czynniki równania kwadratowego, pisząc (vx + w)(yx + z) = 0. Przypomnij sobie zasady mnożenia FOIL (pierwszy, zewnętrzny, wewnętrzny, ostatni). Ponieważ pierwszym członem równania kwadratowego jest Ax^2, oba czynniki równania muszą zawierać x.
Rozwiąż v i y, biorąc pod uwagę wszystkie czynniki A w równaniu kwadratowym. Jeśli A = 1, to zarówno v, jak i y będą zawsze równe 1. W przykładowym równaniu x^2 - 9x + 8 = 0, A = 1, więc v i y można rozwiązać w równaniu na czynniki, aby otrzymać (1x + w) (1x + z) = 0.
Określ, czy w i z są dodatnie czy ujemne. Obowiązują następujące zasady: C = dodatni i B = dodatni; oba czynniki mają znak + C = dodatni i B = ujemny; oba czynniki mają znak – C = ujemny i B = dodatni; czynnik o największej wartości ma znak + C = ujemny i B = ujemny; współczynnik o największej wartości ma znak - W przykładowym równaniu z kroku 2 B = -9 i C = +8, więc oba czynniki równania będą miały - znaki, a równanie na czynniki można zapisać jako (1x – w)(1x – z) = 0.
Zrób listę wszystkich czynników C, aby znaleźć wartości w i z. W powyższym przykładzie C = 8, więc współczynnikami są 1 i 8, 2 i 4, -1 i -8 oraz -2 i -4. Czynniki muszą się sumować do B, czyli -9 w przykładowym równaniu, więc w = -1 iz = -8 (lub odwrotnie), a nasze równanie jest w pełni rozłożone na czynniki jako (1x – 1) (1x – 8) = 0.
Metoda pudełkowa (jeśli A nie = 1)
Zredukuj równanie do najprostszej postaci, używając metody Greatest Common Factor wymienionej powyżej. Na przykład w równaniu 9x^2 + 27x – 90 = 0, GCF wynosi 9, więc równanie upraszcza się do 9(x^2 + 3x – 10).
Narysuj pudełko i podziel je na tabelę z dwoma rzędami i dwiema kolumnami. Umieść Ax^2 uproszczonego równania w wierszu 1, kolumnie 1, a C uproszczonego równania w wierszu 2, kolumnie 2.
Pomnóż A przez C i znajdź wszystkie czynniki iloczynu. W powyższym przykładzie A = 1 i C = -10, więc iloczyn to (1)(-10) = -10. Dzielniki -10 to -1 i 10, -2 i 5, 1 i -10 oraz 2 i -5.
Określ, które z czynników AC produktu sumują się do B. W tym przykładzie B = 3. Dzielniki -10, które sumują się do 3, to -2 i 5.
Pomnóż każdy ze zidentyfikowanych czynników przez x. W powyższym przykładzie dałoby to -2x i 5x. Umieść te dwa nowe terminy w dwóch pustych miejscach na wykresie, tak aby tabela wyglądała tak:
x^2 | 5x
-2x | -10
Znajdź GCF dla każdego wiersza i kolumny pola. W tym przykładzie CGF dla górnego rzędu to x, a dla dolnego rzędu to -2. GCF dla pierwszej kolumny to x, a dla drugiej kolumny to 5.
Zapisz równanie na czynniki w postaci (w + v) (y + z), używając czynników zidentyfikowanych z wierszy wykresu dla w i v oraz czynników zidentyfikowanych z kolumn wykresu dla y i z. Jeśli równanie zostało uproszczone w kroku 1, pamiętaj, aby uwzględnić GCF równania w wyrażeniu na czynniki. W przypadku tego przykładu równanie rozkładane na czynniki będzie miało postać 9(x – 2)(x + 5) = 0.
Wskazówki
Upewnij się, że równanie ma standardową formę kwadratową przed rozpoczęciem którejkolwiek z opisanych metod.
Nie zawsze łatwo jest zidentyfikować idealny kwadrat lub różnicę kwadratów. Jeśli szybko zauważysz, że równanie kwadratowe, które próbujesz rozłożyć na czynniki, ma jedną z tych postaci, może to być bardzo pomocne. Jednak nie spędzaj dużo czasu próbując to rozgryźć, ponieważ inne metody mogą być szybsze.
Zawsze sprawdzaj swoją pracę mnożąc współczynniki metodą FOIL. Czynniki powinny zawsze mnożyć się z powrotem do pierwotnego równania kwadratowego.