Algebra elementarna jest jedną z głównych gałęzi matematyki. Algebra wprowadza koncepcję używania zmiennych do reprezentowania liczb i definiuje zasady manipulowania równaniami zawierającymi te zmienne. Zmienne są ważne, ponieważ umożliwiają formułowanie uogólnionych praw matematycznych i wprowadzanie do równań liczb nieznanych. To właśnie te nieznane liczby są przedmiotem problemów algebry, które zwykle skłaniają do rozwiązania dla wskazanej zmiennej. Zmienne „standardowe” w algebrze są często przedstawiane jako x i y.
Rozwiązywanie równań liniowych i parabolicznych
Przenieś dowolne wartości stałe ze strony równania ze zmienną na drugą stronę znaku równości. Na przykład dla równania
4x^2 + 9 = 16
odejmij 9 po obu stronach równania, aby usunąć 9 ze strony zmiennej:
4x^2 + 9–9 = 16–9
co upraszcza do
4x^2 = 7
Podziel równanie przez współczynnik wyrazu zmiennej. Na przykład,
\text{if } 4x^2 = 7 \text{ then } \frac{4x^2}{4} = \frac{7}{4}
Co skutkuje w
x^2 = 1,75
Weź właściwy pierwiastek równania, aby usunąć wykładnik zmiennej. Na przykład,
\text{if } x^2 = 1,75 \text{ wtedy } \sqrt{x^2} = \sqrt{1,75}
Co skutkuje w
x = 1,32
Znajdź wskazaną zmienną za pomocą rodników
Odizoluj wyrażenie zawierające zmienną, używając odpowiedniej metody arytmetycznej, aby anulować stałą po stronie zmiennej. Na przykład, jeśli
\sqrt{x + 27} + 11 = 15
wyizolowałbyś zmienną za pomocą odejmowania:
\sqrt{x + 27} + 11 - 11 = 15 - 11 = 4
Podnieś obie strony równania do potęgi pierwiastka zmiennej, aby usunąć zmienną z pierwiastka. Na przykład,
\sqrt{x + 27} = 4 \text{ potem } (\sqrt{x + 27})^2 = 4^2
co ci daje
x + 27 = 16
Wyizoluj zmienną, używając odpowiedniej metody arytmetycznej, aby anulować stałą po stronie zmiennej. Na przykład, jeśli
x + 27 = 16
za pomocą odejmowania:
x = 16 - 27 = -11
Rozwiązywanie równań kwadratowych
Ustaw równanie na zero. Na przykład dla równania
2x^2 - x = 1
odejmij 1 z obu stron, aby ustawić równanie na zero
2x^2 - x - 1 = 0
Rozłóż na czynniki lub uzupełnij kwadrat kwadratu kwadratowego, w zależności od tego, co jest łatwiejsze. Na przykład dla równania
2x^2 - x - 1 = 0
najłatwiej jest tak rozliczyć:
2x^2 - x - 1 = 0 \text{ staje się } (2x + 1)(x - 1) = 0
Rozwiąż równanie dla zmiennej. Na przykład, jeśli
(2x + 1)(x - 1) = 0
wtedy równanie jest równe zero, gdy:
2x + 1 = 0
Sugeruje, że
2x = -1 \text{, więc } x = -\frac{1}{2}
albo kiedy
\text{kiedy } x - 1 = 0\text{, otrzymujesz } x = 1
To są rozwiązania równania kwadratowego.
Narzędzie do rozwiązywania równań dla ułamków
Uwzględnij każdy mianownik. Na przykład,
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{x^2 - 9}
można rozliczyć na:
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x - 3)(x + 3)}
Pomnóż każdą stronę równania przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność to wyrażenie, na które każdy mianownik może podzielić się równomiernie. Dla równania
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x - 3)(x + 3)}
najmniejsza wspólna wielokrotność to (x − 3)(x+ 3). Więc,
(x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3}\bigg) = (x - 3)(x + 3)\bigg (\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
staje się
\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = (x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
Anuluj warunki i rozwiążx. Na przykład, anulowanie wyrazów równania
\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = (x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
daje:
(x + 3) + (x - 3) = 10
Prowadzi do
2x = 10 \text{ i } x = 5
Radzenie sobie z równaniami wykładniczymi
Wyizoluj wyrażenie wykładnicze, anulując wszelkie stałe warunki. Na przykład,
100×(14^x) + 6 = 10
staje się
\begin{wyrównane} 100×(14^x) + 6 - 6 &= 10 - 6 \\ &= 4 \end{wyrównane}
Anuluj współczynnik zmiennej, dzieląc obie strony przez współczynnik. Na przykład,
100×(14^x) = 4
staje się
\frac{100×(14^x)}{100} = \frac{4}{100} \\ \,\\ 14^x = 0,04
Weź logarytm naturalny równania, aby obniżyć wykładnik zawierający zmienną. Na przykład,
14^x = 0,04
można zapisać jako (używając niektórych własności logarytmów):
\ln (14^x)= \ln (0,04) \\ x × \ln (14) = \ln\bigg(\frac{1}{25}\bigg) \\ x × \ln (14) = \ ln (1) - \ln (25) \\ x × \ln (14) = 0 - \ln (25)
Rozwiąż równanie dla zmiennej. Na przykład,
x × \ln (14) = 0 - \ln (25) \text{ staje się } x = \frac{-\ln (25)}{\ln (14)} = -1,22
Rozwiązanie dla równań logarytmicznych
Wyizoluj logarytm naturalny zmiennej. Na przykład równanie
2\ln (3x) = 4 \text{ staje się } \ln (3x) = \frac{4}{2} = 2
Przekształć równanie logarytmiczne w równanie wykładnicze, podnosząc logarytm do wykładnika o odpowiedniej podstawie. Na przykład,
\ln (3x) = 2
staje się:
e^{\ln (3x)}= e^2
Rozwiąż równanie dla zmiennej. Na przykład,
e^{\ln (3x)}= e^2
staje się
\frac{3x}{3} = \frac{e^2}{3} \text{ więc } x = 2,46