Aby znaleźć funkcję odwrotną w matematyce, musisz najpierw mieć funkcję. Może to być prawie dowolny zestaw operacji dla zmiennej niezależnejxktóra daje wartość zmiennej zależnejtak. Ogólnie, aby wyznaczyć odwrotność funkcjix, zamienniktakdlaxixdlatakw funkcji, a następnie znajdźx.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Ogólnie rzecz biorąc, aby znaleźć odwrotność funkcjix, zamienniktakdlaxixdlatakw funkcji, a następnie znajdźx.
Zdefiniowano funkcję odwrotną
Matematyczna definicja funkcji to relacja (x, tak) dla którego tylko jedna wartośćtakistnieje dla dowolnej wartościx. Na przykład, gdy wartośćxjest 3, relacja jest funkcją, jeślitakma tylko jedną wartość, na przykład 10. Odwrotność funkcji przyjmujetakwartości pierwotnej funkcji jako własnexwartości i produkujetakwartości, które są wartościami oryginalnej funkcjixwartości. Na przykład, jeśli oryginalna funkcja zwróciłatakwartości 1, 3 i 10, gdy jestxzmienna miała wartości 0, 1 i 2, funkcja odwrotna zwrócitakwartości 0, 1 i 2, gdy jegoxzmienna miała wartości 1, 3 i 10. Zasadniczo funkcja odwrotna zamienia
xitakwartości oryginału. W języku matematycznym, jeśli oryginalna funkcja to f(x), a odwrotnością jest g(x), następnieg (f(x)) = x
Podejście algebrowe dla funkcji odwrotnej
Aby znaleźć odwrotność funkcji obejmującej dwie zmienne,xitak, zastąpićxwarunki ztakitakwarunki zxi rozwiąż dlax. Jako przykład weźmy równanie liniowe,tak = 7x − 15.
y = 7x - 15 \quad \text{(funkcja pierwotna)} \\ \,\\ x = 7y - 15 \quad \text{(zastąp y x i x y)}\\ \,\\ x + 15 = 7y - 15 + 15 \quad \text{(Dodaj 15 do obu boki.)} \\ \,\\ x + 15 = 7y \quad \text{(Uprość)} \\ \,\\ \frac{x + 15}{7} = \frac{7y}{7} \ quad\text{(Podziel obie strony przez 7.)} \\ \,\\ \frac{x + 15}{7} = y \quad\text{(Uprość)}
Funkcja, (x + 15) / 7 = takjest odwrotnością oryginału.
Odwrotne funkcje trygonometryczne
Aby znaleźć odwrotność funkcji trygonometrycznej, warto znać wszystkie funkcje trygonometryczne i ich odwrotności. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć odwrotnośćtak= grzech(x), musisz wiedzieć, że odwrotnością funkcji sinus jest funkcja arcsine; żadna prosta algebra nie zaprowadzi cię tam bez arcsin(x). Inne funkcje trygonometryczne, cosinus, tangens, cosecans, secans i cotangens, mają odpowiednio funkcje odwrotne arccosinus, arctangens, arccosecans, arcsecans i arccotangens. Na przykład odwrotnośćtak= cos(x) jesttak= arccos(x).
Wykres funkcji i odwrotności
Interesujący jest wykres funkcji i jej odwrotność. Kiedy wykreślasz dwie krzywe, narysuj linię odpowiadającą funkcji,tak = x, zauważysz, że linia pojawia się jako „lustro”. Dowolna krzywa lub linia poniżejtak = xjest „odbita” symetrycznie nad nią. Dotyczy to każdej funkcji, wielomianowej, trygonometrycznej, wykładniczej lub liniowej. Korzystając z tej zasady, możesz graficznie zilustrować odwrotność funkcji, tworząc wykres pierwotnej funkcji, rysując linię przytak = x, a następnie narysuj krzywe lub linie potrzebne do stworzenia „odbicia lustrzanego”, które:tak = xjako oś symetrii.