Równania z wartością bezwzględną mogą początkowo wydawać się nieco onieśmielające, ale jeśli będziesz się ich trzymać, wkrótce będziesz je łatwo rozwiązywać. Kiedy próbujesz rozwiązywać równania wartości bezwzględnej, warto pamiętać o znaczeniu wartości bezwzględnej.
Definicja wartości bezwzględnej
całkowita wartośćliczbyx, napisane |x|, jest jego odległością od zera na osi liczbowej. Na przykład -3 to 3 jednostki od zera, więc wartość bezwzględna -3 wynosi 3. Piszemy to tak: | -3 | = 3.
Innym sposobem myślenia o tym jest to, żecałkowita wartośćjest pozytywną „wersją” liczby. Zatem wartość bezwzględna -3 wynosi 3, podczas gdy wartość bezwzględna 9, która już jest dodatnia, wynosi 9.
Algebraicznie możemy napisać awzór na wartość bezwzględnąto wygląda tak:
| x | = \begin{cases} x &\text{if } x≥ 0 \\ -x &\text{if } x ≤ 0 \end{cases}
Weź przykład, gdziex= 3. Ponieważ 3 ≥ 0, wartość bezwzględna 3 wynosi 3 (w zapisie wartości bezwzględnej: | 3 | = 3).
A co jeślix= −3? Jest mniej niż zero, więc | -3 | = −( −3). Przeciwieństwo lub „ujemne” -3 to 3, więc | -3 | = 3.
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną
Teraz kilka równań wartości bezwzględnych. Ogólne kroki rozwiązywania równania wartości bezwzględnej to:
Izoluj wyrażenie wartości bezwzględnej.
Rozwiąż pozytywną „wersję” równania.
Rozwiąż ujemną „wersję” równania, mnożąc wielkość po drugiej stronie znaku równości przez -1.
Spójrz na poniższy problem, aby uzyskać konkretny przykład kroków.
Przykład: Rozwiąż równanie dlax:
| 3 + x | - 5 = 4
Musisz zdobyć | 3 +x| po lewej stronie znaku równości. Aby to zrobić, dodaj 5 po obu stronach:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Rozwiąż dlaxtak jakby nie było znaku wartości bezwzględnej!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
To proste: po prostu odejmij 3 z obu stron.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Więc jednym z rozwiązań tego równania jest tox = 6.
Zacznij od nowa | 3 +x| = 9. Algebra w poprzednim kroku pokazała, żexmoże być 6. Ale ponieważ jest to równanie wartości bezwzględnej, istnieje inna możliwość do rozważenia. W powyższym równaniu wartość bezwzględna „czegoś” (3 +x) równa się 9. Jasne, bezwzględna wartość dodatniej 9 równa się 9, ale jest też inna opcja! Wartość bezwzględna -9 również równa się 9. Zatem nieznane "coś" mogło również równać się -9.
Innymi słowy:
3 + x = -9
Szybkim sposobem dotarcia do tej drugiej wersji jest pomnożenie ilości po drugiej stronie równa się z wyrażenia wartości bezwzględnej (9, w tym przypadku) przez −1, a następnie rozwiąż równanie z tam.
Więc:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × ( -1) \\ 3 + x = -9
Odejmij 3 z obu stron, aby uzyskać:
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
Zatem dwa rozwiązania to:x= 6 lubx = −12.
I masz to! Tego rodzaju równania wymagają praktyki, więc nie martw się, jeśli na początku masz problemy. Trzymaj się tego, a będzie łatwiej!