Czym są liczby rzeczywiste?

Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby na osi liczbowej rozciągającej się od ujemnej nieskończoności przez zero do dodatniej nieskończoności. Taka konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych nie jest arbitralna, lecz jest raczej wynikiem ewolucji od liczb naturalnych używanych do liczenia. System liczb naturalnych ma kilka niespójności, a gdy obliczenia stały się bardziej złożone, system liczbowy rozszerzył się, aby rozwiązać jego ograniczenia. W przypadku liczb rzeczywistych obliczenia dają spójne wyniki i istnieje kilka wyjątków lub ograniczeń, jakie występowały w bardziej prymitywnych wersjach systemu liczbowego.

TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)

Zbiór liczb rzeczywistych składa się ze wszystkich liczb na osi liczbowej. Obejmuje to liczby naturalne, liczby całkowite, liczby całkowite, liczby wymierne i niewymierne. Nie obejmuje liczb urojonych ani liczb zespolonych.

Zamknięcie jest właściwością zbioru liczb, co oznacza, że ​​jeśli dozwolone obliczenia są wykonywane na liczbach należących do zbioru, odpowiedziami będą również liczby należące do zbioru. Mówi się, że zestaw jest zamknięty.

Liczby naturalne to liczby liczebne, 1, 2, 3..., a zbiór liczb naturalnych nie jest domknięty. Ponieważ w handlu używano liczb naturalnych, natychmiast pojawiły się dwa problemy. Podczas gdy liczby naturalne liczyły obiekty rzeczywiste, na przykład krowy, jeśli rolnik miał pięć krów i sprzedał pięć krów, wynik nie zawierał liczb naturalnych. Wczesne systemy liczbowe bardzo szybko opracowały termin na zero, aby rozwiązać ten problem. W rezultacie powstał system liczb całkowitych, czyli liczby naturalne plus zero.

Drugi problem również był związany z odejmowaniem. Dopóki liczby liczyły rzeczywiste przedmioty, takie jak krowy, rolnik nie mógł sprzedać więcej krów niż miał. Ale kiedy liczby stały się abstrakcyjne, odejmowanie większych liczb od mniejszych dawało odpowiedzi poza systemem liczb całkowitych. W rezultacie wprowadzono liczby całkowite, które są liczbami całkowitymi plus ujemne liczby naturalne. System liczbowy obejmował teraz pełną linię liczbową, ale tylko z liczbami całkowitymi.

Obliczenia w zamkniętym systemie liczbowym powinny dawać odpowiedzi z systemu liczbowego dla operacje takie jak dodawanie i mnożenie, ale także ich operacje odwrotne, odejmowanie i podział. System liczb całkowitych jest zamknięty dla dodawania, odejmowania i mnożenia, ale nie dla dzielenia. Jeśli liczba całkowita jest dzielona przez inną liczbę całkowitą, wynik nie zawsze jest liczbą całkowitą.

Dzielenie małej liczby całkowitej przez większą daje ułamek. Takie ułamki zostały dodane do systemu liczbowego jako liczby wymierne. Liczby wymierne definiuje się jako dowolną liczbę, którą można wyrazić jako stosunek dwóch liczb całkowitych. Dowolna liczba dziesiętna może być wyrażona jako liczba wymierna. Na przykład 2,864 to 2864/1000, a 0,89632 to 89632/100 000. Linia liczbowa wydawała się teraz kompletna.

Na osi liczbowej znajdują się liczby, których nie można wyrazić jako ułamek liczb całkowitych. Jednym z nich jest stosunek boków trójkąta prostokątnego do przeciwprostokątnej. Jeśli dwa boki trójkąta prostokątnego to 1 i 1, przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 2. Pierwiastek kwadratowy z dwóch to nieskończona liczba dziesiętna, która się nie powtarza. Takie liczby nazywane są irracjonalnymi i obejmują wszystkie liczby rzeczywiste, które nie są wymierne. Przy tej definicji oś liczbowa wszystkich liczb rzeczywistych jest kompletna, ponieważ każda inna liczba rzeczywista, która nie jest wymierna, jest zawarta w definicji niewymiernego.

Chociaż mówi się, że linia liczb rzeczywistych rozciąga się od ujemnej do dodatniej nieskończoności, sama nieskończoność nie jest a is liczba rzeczywista, ale raczej koncepcja systemu liczbowego, który definiuje ją jako ilość większą niż jakakolwiek numer. Matematycznie nieskończoność jest odpowiedzią na 1/x, gdy x osiąga zero, ale dzielenie przez zero nie jest zdefiniowane. Gdyby nieskończoność była liczbą, prowadziłaby do sprzeczności, ponieważ nieskończoność nie podlega prawom arytmetyki. Na przykład nieskończoność plus 1 to nadal nieskończoność.

Zbiór liczb rzeczywistych jest zamknięty na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie z wyjątkiem dzielenia przez zero, które nie jest zdefiniowane. Zestaw nie jest zamykany na co najmniej jedną inną operację.

Reguły mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych określają, że mnożenie liczby ujemnej i a liczba dodatnia daje liczbę ujemną, podczas gdy mnożenie liczb dodatnich lub ujemnych daje dodatnie odpowiedzi. Oznacza to, że specjalny przypadek mnożenia liczby przez siebie daje liczbę dodatnią zarówno dla liczb dodatnich, jak i ujemnych. Odwrotnością tego szczególnego przypadku jest pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej, co daje zarówno odpowiedź pozytywną, jak i negatywną. Dla pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej nie ma odpowiedzi w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pojęcie zbioru liczb urojonych rozwiązuje problem ujemnych pierwiastków kwadratowych w liczbach rzeczywistych. Pierwiastek kwadratowy z minus 1 jest zdefiniowany jako i, a wszystkie liczby urojone są wielokrotnościami i. Aby uzupełnić teorię liczb, zbiór liczb zespolonych definiuje się jako obejmujący wszystkie liczby rzeczywiste i wszystkie liczby urojone. Liczby rzeczywiste mogą być nadal wizualizowane na poziomej osi liczbowej, podczas gdy liczby urojone są pionową osią liczbową, przy czym obie przecinają się na zero. Liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie dwóch linii liczbowych, z których każda ma składnik rzeczywisty i urojony.